人教A版高中数学选修1-1同步检测：第三章3.3-3.3.1函数的单调性与导数.doc

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1、第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数A级　基础巩固一、选择题1．函数y＝x2－lnx的单调减区间是(　　)A．(0，1)B．(0，1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析：因为y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，所以y′＝x－，令y′＜0，即x－＜0，解得：0＜x＜1或x＜－1.又因为x＞0，所以0＜x＜1.答案：A2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：显然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有减，故

2、排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在和上为增函数，在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是(　　)A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数解析：求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立

3、，故f(x)是增函数．答案：A4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能为(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　D解析：由题图找出函数f(x)的增(减)区间，则其导函数f′(x)在相应区间上的函数值为正(负)，即导函数在相应区间上的图象在x轴的上(下)方，易知D正确．答案：D5．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1

4、，＋∞)上恒成立，因为x>1，所以0<<1，所以k≥1，故选D.答案：D二、填空题6．函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f′(x)＝1－2cosx＞0，得cosx＜，又x∈(0，π)，所以＜x＜π.答案：7．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(2)，f(3)，f(e)按从小到大排列应为________.解析：因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．答案：f(2)＜f(e)＜f(3)8．函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋

5、1是R上的单调递增函数，则m的取值范围为________．解析：因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝4－12m≤0，即m≥.答案：三、解答题9．证明：函数f(x)＝在区间(0，2)内是增函数．证明：f′(x)＝＝.因为0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故1－lnx＞0.所以f′(x)＝＞0.根据导数与函数单调性的关系，得函数f(x)＝在区间(0，2)内是增函数．10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处

6、的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解：(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，如－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.所以即解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3，令f′(x)＞0，得x＜1－或x＞1＋；令f′(x)＜0，得1－＜x＜1＋.故f(x

7、)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．B级　能力提升1．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有(　　)A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)解析：因为f′(x)－g′(x)＞0，所以′＞0，所以f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，所以当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，所以f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．答案：

8、C2．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意