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1、矩量法实验报告姓名：学号：导师：班级：年月日题目一：用矩量法计算，边界条件为分析：显然，这是一个简单的边值问题，其精确解为（1）下面用矩量法求解这个问题，我们选择基函数为（2）则，原微分方程的解可以写成级数展开式为（3）对于检验函数我们选择（4）在这种情况下，就是伽略金法。由內积公式，（5）得，（6）（7）同时，由（8）式中L是线性算子，g为已知函数，为未知函数。令在L的定义域中被展开为的组合，如（9）式中是系数。由于算子L是线性的，所以有（10）我们已经规定了一个合适的内积，由（6）、（7）式可把上式写成矩阵形式为（11）由此可求得（12）最
2、后再把上式代入（3）式，即可得矩量法结果。因为这是一个简单的微分方程，有精确解，所以为了体现N取不同值的时候矩量法的逼近程度，所以取N从1~3时矩量法的计算结果，并和解析解做比较。N=1时，，由式（12）得。N=2时，得N=3时，得显然第三级解，即N=3时，矩量法所得的解和解析解是完全相同的。为了便于比较，把N取不同值的曲线画在同一张图里面，如图1。由图可以看出，当N=3的时候，用矩量法所得的解和解析解是完全相同的。源程序代码：clearclcx=linspace(0,1,100);%先画出解析结果以便和矩量法的结果相比较f0=5/6.*x-1
3、/2.*x.^2-1/3.*x.^4;plot(x,f0,'gp');gridonaxis([0100.3])title('矩量法计算二次微分函数');holdon;forN=1:3%N从1到3分别取不同的值，在此用循环分别计算之，更方便f=0;l=zeros(N,N);g=zeros(N,1);%%由于每次循环所用到的矩阵l、g的维数是不一样的，所以每次内循环之前都要先对矩阵初始化，这样可以加快运算的速度form=1:Ng(m)=m*(3*m+8)/(2*(m+2)*(m+4));%与矩量法相应的激励向量forn=1:Nl(m,n)=m*n/
4、(m+n+1);%与矩量法相应的阻抗矩阵endendalpha=lg;%计算出每次的alphaforn=1:N%在上面计算出一次alpha的值的时候，即马上画出相应的曲线f=f+alpha(n)*(x-x.^(n+1));enddraw(x,f,N);%自定义的画图函数，在N取不同值时，赋予画图函数不同的线形holdonendlegend('解析解','N取1时','N取2时','N取3时');%由画出的图可以看出，在N=3的时候，用矩量法实现的曲线与解析解画出的曲线完全重合functiondraw(x,y,n)%画图函数ifn==1plot
5、(x,y,'r');elseifn==2plot(x,y,'b');elseifn==3plot(x,y,'k');elseifn==4plot(x,y,'co')end题目二：Z一块正方形的导体板，边长为2a米，位于z=0的平面上，中心在坐标原点，如图2所示。设表示道题板上的面电荷密度，板的厚度为零。XYO图二则空间任一点的静电位是（1）式中，板上的边界条件是（常数）。此时方程是（在板上z=0）（2）式中，待求的未知函数是电荷密度。一个有意义的参数是导体板的电容（3）假设将导体板划分为N个正方形小块。定义函数（4）则电荷密度就可表示为（5）将
6、（5）代入（2），并且在每个的中点满足所得的方程，则有（6）式中（7）注意，是上单位振幅的均匀电荷密度在的中心处产生的电位。由求解式（6）得到。据此，电荷密度由式（5）逼近，对于式（3）的平板电容相应地近似为（8）此结果可以解释为：物体的电容是其各小块电容的总和加上每一对小块间的互电容。为了将上述结果翻译成线性空间和矩量法的语言。令（9）（10）（板上电位）（11）于是与（2）式等效。取内积（12）为了应用矩量法，以函数式（4）为分域基并规定检验函数为（13）这是一个二维的狄拉克函数。为了得到数值结果，必须计算（7）式的。令表示每个的边长，由本
7、身面上的单位电荷密度在其中心处产生的电位是（14）上单位电荷在中心处产生的电位可用同样的方法计算，但算式复杂。若将上的电荷视为点电荷，并应用（15）值得注意的是，在本题的编程和计算中要特别注意导体板的边长和2a和分块的边长2b的关系，同时注意a的赋值，a并不是边长，2a才是导体板的边长。本题计算时，取分块数N=100。这是得到导体板的电容值为同时，沿导体板的电荷密度的分布的二维和三维图如下，图三和图四。图三图四程序代码如下：clearclc%===========================================%%确定初始量%=
8、==========================================%N=100;%确定导体板的分块数a=0.5;b=a/sqrt(N
