[理学]矩量法 method of moment课件

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1、第二章矩量法(MethodofMoment)2.1引言2.2矩量法的一般过程2.3选配和离散过程2.3.1点选配2.3.2脉冲分域基2.3.3三角形函数分域基2.4算子研究2.4.1近似算子2.4.2扩展算子2.4.3微扰算子矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这里先举一个简单的例子。[例1]无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘，在中心线距离d处有一点电荷，如图5-17-1所示，求解

2、导体圆盘上的电荷分布。[解]假设导体圆盘上电荷密度为，根据电磁学的基本概念可知：(1)由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位Φe和导体圆盘本身感应电荷密度σ所产生的电位Φi之和U在盘上处处相等，即保证导体圆盘是等位面。(2)由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi≡0，其中图5-17-1导体圆盘上的电荷分布(5-17-1)(5-17-2)(5-17-3)于是，问题可写为(5-17-4)式中r=，其中打撇的表示源点，不打撇的表示场点。这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，因为未知量处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此，把

3、圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带(如图5-17-1所示)，并假定每一部分内的电荷密度(i=1,2)近似为常数，于是(5-17-5)式中(5-17-6)称为脉冲函数，这时问题方程(5-17-4)成为(5-17-7)(5-17-8)把问题方程(5-17-4)近似的转化为式(5-17-7)和式(5-17-8)的过程称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点r表示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式(5-17-7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-17-7)和方程组(5-17-8)

4、内只有三个未知数、和，于是方程组超定。为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说来，即在每个离散的单元上只选取一个场点作为代表来建立方程。例如，在[例1]中对于离散的和分别取和两点做试验点，如图5-17-2所示。具体写出方程组(5-17-9)其中图5-17-2圆盘上的试验点其中表示面元电荷在处产生场的自作用单元；表示面元电荷在处产生场的自作用单元；表示面元电荷在处产生场的互作用单元；表示面元电荷在处产生场的互作用单元。又有(5-17-14)经过离散化过程和选配过程，将积

5、分方程组(近似地)转化为矩阵方程(5-17-15)由此得出电荷分布的解为(5-17-16)图5-17-3矩量法的一般过程图5-17-3所示的矩量法求解问题的一般过程。[讨论](1)矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分方程或其他方程。但必须能抽象成算子方程。从这一点而言，它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转化为矩阵方程加以解决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速下降线所构成的积分方程不是线性泛函，所以无法采用矩量法。(2)电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源

6、的距离增加而减少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用单元比互作用单元所起的作用要大。这一点在概念上十分重要。矩量法的研究对象是一般非齐次方程(5-17-17)线性算子的运算空间称为定义域，而组成的空间称为值域。式(5-17-17)中是已知的激励函数，为未知函数。令在的定义域内展开成的组合，有(5-17-18)2.2矩量法的一般过程其中表示矩阵转置，应该注意到：展开函数与基函数是有区别的。一般来说，基函数是一无限展开。从完备基转化为近似有限截断基已经构成误差了，再从有限截断基转化为有限展开函数就很难保证能收敛于，这也

7、是矩量法的研究中需要深入研究的一个问题。这里且写出(5-17-19)而从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。现在规定适当的内积。在算子L的值域内定义一类权函数(或检验函数),作用于式(5-17-19)两边，且取内积，有(5-17-20)这就是所谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由此而来，即把激励矢量和分别向权空间投影，取它的矩，根据矩的大小确定展开系数。如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式(5-17-20)写成矩阵形式(5-17-21)其

8、中(5-17-22)于是可以解出(5-17-23)若规定函数矩阵(5-17-24)于是待求的函数为(5-17-25)矩量法的一般过程的数学表示如图5-17-4所示。十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：①离散化程度；②和的选取；③线性方程组的求解。在=的特殊情况下，可称为Gale