行列式的性质及展开计算课件.ppt

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1、对角线法则二阶行列式的计算二元线性方程组的解为三阶行列式的计算-------对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．n阶行列式的定义定义上三角行列式下三角行列式对角行列式特别的，第二节行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例三、小结一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记改变书写方向证明：则由行列式定义说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.交换2，3行性质2互换行列式的两行（列

2、）,行列式变号.证明：设交换s、t两行，得s行t行由行列式定义可知，D中任一项可以写成因为（2）（1）显然这是中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且（2）式右端的n个元素是按它们在中所处的行标为自然顺序排好的。因此是中的一项。（3）因为，排列与排列的奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明了D的任一项的反号是中的项，同样可以证明中的任一项的反号也是D中的项。因此，D＝－D1记法行列式的第s行：行列式的第s列：交换s、t两行：交换s、t两列：例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明

3、互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明Ex.1设求解利用行列式性质,有性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质5动画演示例性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对

4、应的元素上去，行列式不变．例如例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2计算行列式解将第2,3,4列都加到第1列得例3计算阶行列式解将第都加到第一列得(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的性质Ex1.Ex2.(3)解：(4)解:=-4.思考题：设求解：例箭形行列式目标：把第一列化为成三角形行列式Ex.（可以

5、化为箭形行列式）证例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1例计算解将D3的第1行加到第3行上，得例计算解设则D=D1D2.可简记为其中D1是m2个元素aij排成m行m列；D2是n2个元素bij排成n行n列；*是任意n×m个元素cij排成n行m列;O是m×n个数0排成m行n列.注意：以上的几个式子可作为公式用.