自动控制理论(邹伯敏)第04章课件.ppt

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1、第四章根轨迹法自动控制理论7/29/20211第四章根轨迹法第一节根轨迹法的基本概念反馈控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点所决定的，而系统瞬态响应的基本特性也与闭环传递函数极点在S平面上的具体分布有着密切的关系。1948年，伊凡思根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程式间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法----根轨迹法。它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特

2、征根确定开环增益。7/29/20212第四章根轨迹法一、什么是根轨迹闭环特性方程式当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。表4-1根与K的关系K00.250.51…∞s10-0.5-0.5+j0.5-0.5+j0.87…0.5+j∞s2-1-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87…-0.5-j∞图4-1二阶系统(4-1)方程式(4-1)的根为7/29/20213第四章根轨迹法图4-2系统的根轨迹对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:1)0≤K＜¼，s1、s1为两相异的实数根（过阻尼状态）2)K=¼，s1、s1为两相等实根，s1=s2=-0.5，（临界

3、阻尼）3)¼＜K＜∞，s1、s2为一对共轭复根（欠阻尼）如图是系统的闭环极点随参数K的变化，改变其在S平面上发布位置的轨迹。根轨迹就是闭环极点在S平面上随系统参数的变化的轨迹图形。7/29/20214第四章根轨迹法图4-2系统的根轨迹如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49%。求得由于，在图4-2上过坐标原点作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的交点S=-05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。在图中还能实现把对系统动态性能的要求转化为希望的闭环极点。7/29/20215第四章根轨迹法图4-3控制系统的框图二、根轨迹的幅值条件与相角条件特征方程：于是得：由上式可知，凡是满足方程的

4、s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的一个点。由于s是复数，故有：7/29/20216第四章根轨迹法则上式改写为：于是得：假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：7/29/20217第四章根轨迹法图4-4一阶系统设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹的幅值条件得：即令（4-10）（4-11）式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇同心圆，如图4-5所示。图4-5图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹7/29/20218第四章根轨迹法结论：绘制根轨迹的一般步骤是：找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值例4-1求图4-1所示系统的根轨迹解：1

5、）用相角条件绘制根轨迹2）用幅值条件确定增益K图4-1二阶系统7/29/20219第四章根轨迹法图4-6用试探法确定根轨迹7/29/202110第四章根轨迹法图4-6用试探法确定根轨迹7/29/202111第四章根轨迹法图4-6用试探法确定根轨迹7/29/202112第四章根轨迹法图4-6用试探法确定根轨迹7/29/202113第四章根轨迹法图4-1二阶系统7/29/202114第四章根轨迹法第二节根轨迹的基本规则我们可以把现有的绘制根轨迹图的方法分为三类：1）手工画概略图（草图）。这种方法适合调试现场的应急分析、项目开始的粗略分析等不要求很精确的场合。一个熟悉根轨迹基本规则的人几分钟就

6、可以画出一张很有用的概略图。2）手工图解加计算画准确图。这种方法曾经沿用很久，以往的教科书讲述了很多绘图的技艺，不仅繁琐，精度也差，这类方法在实际应用中已逐步淘汰。3）计算机绘制精确图，目前主要指用Matlab工具绘制根轨迹图。它准确快捷，短时间内可以对多个可调参数进行研究，有效地指导设计与调试。7/29/202115第四章根轨迹法开环传递函数有如下两种表示：其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的关系为：7/29/202116第四章根轨迹法绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹的连续性和对称性由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复数.根轨迹必然对

7、称于S平面的实轴规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点闭环特征方程：根轨迹分支数等于开环传递函数的极点数n7/29/202117第四章根轨迹法根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：根轨迹终点就是当时根的位置；7/29/202118第四章根轨迹法7/29/202119第四章根轨迹法根轨迹的条数为系统的阶数----即系统特征方程的阶数。也为开环传递函数的极点数根轨迹的起点为开环传递函数的极点，此时Kg=0。根轨迹的终点为开环传