高等数学方明亮版课件25函数的微分.ppt

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1、第五节函数的微分第二章三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则二、微分的几何意义一、微分的定义四、微分在近似计算中的应用（Function’sDifferential）五、本章小结与思考题7/27/20211一、微分的定义引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其（DefinitionofDifferentials）7/27/20212的微分,在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定

2、理函数在点可微的充要条件是即在点可微,定义若函数7/27/20213证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理函数7/27/20214在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理函数7/27/20215时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当说明:7/27/20216二、微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时,则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记7/27/20217又如,例如,7/27/20218三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1．基本初等函数的微分公式(参

3、看课本表格)2．函数和、差、积、商的微分法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)7/27/202193．复合函数的微分法则分别可微,的微分为微分形式不变性则复合函数求例1解法1：解法2：利用“微分形式不变性”7/27/202110求解:利用一阶微分形式不变性,有例2设例3在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.（点击看其他例子）7/27/202111数学中的反问题往往出现多值性,例如7/27/202112四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:7/

4、27/202113很小时,常用近似公式:很小)证明:令得特别当7/27/202114的近似值.解:设取则例4求7/27/202115的近似值.解:例5计算7/27/202116内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分在近似计算中的应用7/27/202117课后练习习题2-51；4（2）（4）（6）；5（2）（4）（6）；8（5）思考与练习1.7/27/202118由方程确定,求4.设解:方程两边求微分,得当时由上式得7/27/202119