将军饮马系列最值问题-教师版教学提纲.doc

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1、将军饮马系列最值问题-教师版精品文档“将军饮马”系列最值问题知识回顾1.两点之间，线段最短．2.点到直线的距离，垂线段最短．3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4.分别为同一圆心半径不等的两个圆上的一点，当且仅当三点共线时能取等号．知识讲解古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从出发到河边饮马，然后再到地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家

2、是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若在河流的异侧，直接连接，与的交点即为所求．若在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰是轴对称图

3、形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．当已知条

4、件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化常见模型：（1）最小收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（2）①最小②最大【变形】异侧时，也可以问：在直线上是否

5、存在一点使的直线为的角平分线（3）周长最短类型一类型二类型三（4）“过河”最短距离类型一类型二收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（5）线段和最小（6）在直角坐标系里的运用同步练习【例1】尺规作图，作线段的垂直平分线，作的角平分线．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．【变式练习】已知：如图，及两点、．求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．因为是两边所在的直线，所以有两个答案：内角平分线与线段的垂直平分线的交点；外角平分线与线段的垂直平分线的交点

6、．【例1】已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【解析】作点关于直线的对称点，即为点．【例1】如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？【解析】作点关于直线的对称点，在连接于直线的交点即为点．【变式练习】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．【解析】如图，作对称再连接．这题实质还是“将军饮马”问题，在上

7、找一点，使得之和最小．【巩固】若此题改成，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【解析】作点，作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求点，再向左平移个单位即为所求点．【例1】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小．【解析】如图，作对称再连接．【例2】已知：如图，、分别是内两点，，（1）分别在角两边各取两点，使得周长（2）分别在角两边各取两点，使得周长最小（3）是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．收集于网络，如有侵权请联

8、系管理员删除精品文档【解析】如图,分别做对称再连接．周长最小，周长最小，，【例1】如图，在内部