2019考研数学三(试题与解析).pdf

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1、关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯2019全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题1.当时，与是同阶无穷小，则=（）A.1B.2C.3D.4【解析】C由于，则可得2.已知方程有3个不同的实根，则的取值范围（）A.B.C.D.【解析】D令，有可得，当，则可得：极大值为；极小值为.同时若要由3个不同的实根，则必须满足：，即，则.3.已知微分方程的通解为，则依次为（）A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯【解析】D由题设条件可得：①为的两个解，即为

2、重根，则原微分方程对应特征方程有重根-1，则.②为的特解，即为的特解，将代入可得，则.4.若绝对收敛，条件收敛，则（）A.条件收敛B.绝对收敛C.收敛D.发散【解析】B条件收敛，则存在，使得，，由于绝对收敛，则绝对收敛.对于选项A和C，取可排除；对于选项D，取可排除.5.设是四阶矩阵，是的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则的秩是（）A.0B.1C.2D.3【解析】A关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯的基础解系中只有2个向量，则，可得，因此.6.设是阶实对称矩阵，是阶单位矩阵，若，且，则二次型规范形

3、为（）A.B.C.D.【解析】C由得，则或.又由，故，则规范形为：.7.设为随机事件，则的充分必要条件是（）A.B.C.D.【解析】C，则对于选项A和D，取可排除；对于选项B，若互斥，可排除.8.设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，则（）A.与无关，而与有关B.与有关，而与无关C.与都有关D.与都无关【解析】A由于，和相互独立，则，关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯可得，此概率值与无关，而与有关.二、填空题9.=_________.【解析】10.曲线的拐点坐标为_________.【解析】，或当，则不为拐点；

4、当，则为拐点.11.已知，则=_________.【解析】，则关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯12.A、B两商品的价格分别为,，需求函数，，求A商品对自身价格的需求弹性=________（）【解析】0.4故时，.13.，，有无穷多解，求=________.【解析】1当时，，有无穷多解.14.设随机变量的概率密度为，为的分布函数，为的数学期望，则=___________.【解析】关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯.三、解答题15.,求，并求的极值.【解析】当，当；又；故，令可得，-0+不存在-0+极小值

5、极大值极小值于是由的极小值为，极大值为.16.已知具有2阶连续偏导数，且，求【解析】，关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯故.17.已知满足微分方程，且有.（1）求；（2），求平面区域绕轴旋转一周成的旋转体体积.【解析】（1）一阶线性微分方程，通解为：（2）.18.求曲线与轴之间图形的面积.【解析】根据定积分定义可得其面积为其中可得关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯则故其面积为.19.设（1）证明单调减少，且；（2）求.【解析】（1）由于，则，则，由定积分的保号性可得：，故单调递减；可得，即.（2）由于单

6、调递减，则可得：且，根据夹逼定理得.20.已知向量组（I），关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯（II），若向量组（I）和向量组（II）等价，求的取值，并将用线性表示.【解析】（1）若，则，向量组（I）与（II）等价，设，记，则，，其中为任意常数；若，，向量组（I）与（II）不等价；若，，向量组（I）与（II）等价，，.21.已知矩阵与相似，（1）求；（2）求可逆矩阵使得.【解析】（1）由相似矩阵的性质可得：可得：关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯（2）由可得的特征值分别为，则的特征值也为.对于：当，的基

7、础解系为：；当时，的基础解系为：；当时，的基础解系为：；则存在，使得对于：当，的基础解系为：；当时，的基础解系为：；当时，的基础解系为：；则存在，使得综上可得：，则22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为，令.（1）求的概率密度；（2）为何值时，与不相关；（3）与是否相互独立？【解析】（1）由于与相互独立，且的分布函数为，则的分布函数为关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯当当所以，的概率密度为.（2）由条件可得由，可得当时，.即时，与不相关（3）由（2）知当，与相关，从而不独立；当时，且显然

8、，即不独立.综上可得，不独立.23.设总体的概率密度为，是已知参数，是未知参数，是常数.是来自总体简单随机样本.关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯（1）求;（2）求的最大似然估计量.【解析】（1）由密度函数的规范性可知，即得.（2）设似然函数，取对数求导数令导数为解得：，故的最大似然估计量为.