线性代数课件第2章矩阵.ppt

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1、第2章矩阵2.1矩阵的概念2.1.1矩阵的定义定义1由个数按一定顺序排成行列的数表称为一个行列矩阵，简称矩阵，记为或，其中表示位于第行第列的数,称为的元素（或元），所以矩阵也可以简记为或．．2.1.2几种特殊形式的矩阵（1）行矩阵当时，即只有一行的矩阵或称为行矩阵或行向量．（2）列矩阵当时，即只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量．（3）零矩阵所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为．例如，的零矩阵可记为（4）方阵行数和列数都等于的矩阵，称为阶矩阵或阶方阵，记为，．即其中元素称为阶方阵的主对角元素，过元素的直线称为阶

2、方阵的主对角线．（5）阶对角阵非主对角元素全为零的阶方阵称为阶对角矩阵，即记为或其中未写出的元素全为零．（6）阶单位矩阵主对角元素全为1，其余元素全为零的阶方阵称为阶单位矩阵，即且记为或（7）阶数量矩阵主对角元素等于同一个数的阶对角阵，称为阶数量矩阵，记为或．2.2　矩阵的运算2.2.1矩阵的线性运算1．矩阵的加法定义2两个的同型矩阵和的对应元素相加，所得的矩阵称为矩阵与的和,记为，即例1设则而无意义．2．数与矩阵的乘法定义3用数乘以矩阵的所有元素，所得的矩阵称为数与矩阵的数乘矩阵，简称数乘，记为，即当时，

3、称为矩阵的负矩阵，显然有所以矩阵的减法可定义为矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算，其运算规律：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．．．例2设且，求矩阵．解在等式两端同加上，得上式两端同乘，得2.2.2矩阵与矩阵相乘定义4设是一个矩阵，是一个矩阵，则规定与的乘积是一个矩阵，其中记为例3设矩阵求乘积．解例4设矩阵，求及．解例5设，求与．解，矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）：（1）结合律：（2）分配律：（3）对任意数有（4）设是矩阵，则，或简记为即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类

4、似于乘法中的数1．定义5方阵的次幂定义为个方阵连乘，即其中为正整数，规定，其运算规律：（1）；（2）为正整数．因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个阶方阵与，一般来说2.2.3矩阵的转置定义6将矩阵的行换成同序数的列，所得的矩阵称为的转置矩阵，记为或，即其运算规律：（1）；；（2）；（3）；（4）．例6已知求．解法1因为所以解法2定义7设为阶方阵，若满足，则称为对称矩阵，即其特点是：关于主对角线对称的元素相等．若满足，则称为反对称矩阵，即，当时，，其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主对角线上的元素全为零．2

5、.2.4方阵的行列式定义8由阶方阵的所有元素（位置不变）构成的行列式，称为方阵的行列式，记为或，即其运算规律：（1）（行列式性质1）；（2）为阶方阵）；（3）2.2.5共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵．其运算规律（设，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）．2.3逆矩阵2.3.1逆矩阵的定义及性质定义9设为阶方阵，若存在阶方阵，使，则称方阵可逆，为的逆矩阵．若可逆，则的逆矩阵是惟一的．可逆矩阵的性质：(1)若可逆，则其逆阵也可逆，且（2）若可逆，则也可逆，且（

6、3）若可逆，为非零常数，则也可逆，且（4）若，为同阶可逆阵，则也可逆，且；2.3.2方阵可逆的充分必要条件及的求法定义10设阶方阵由的行列式的所有元素的代数余子式所构成的阶方阵称为矩阵的伴随矩阵.定理1设是阶方阵，为的伴随矩阵，则定理2阶方阵可逆，且推论若，则．例1设判断是否可逆，若可逆，求．解因为所以可逆，又因为有所以例2设求矩阵，使满足.解若，存在，则用左乘上式，右乘上式，有即　　．由例1知，可逆，且又因，也可逆，且所以2.4分块矩阵2.4.1　分块矩阵的概念设是矩阵，用若干条横线和竖线将矩阵分成若干个

7、小块，每一小块作为一个小矩阵，称为的子块（或子矩阵），在进行矩阵运算时，可以将的每一个子块作为一个元素，这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2.4.2分块矩阵的运算1.分块矩阵的线性运算①分块矩阵的加法设与为同型矩阵，且以相同的方式分块，即其中与也是同型矩阵，则②数与分块矩阵的乘法设为数，则2.分块矩阵的乘法设为矩阵，为矩阵，若它们的分块矩阵分别为其中子块的列数分别等于子块的行数，即矩阵的列的分法与矩阵的行的分法一致，则其中例1设求．解将、分块成3.分块矩阵的转置设则4．分块对角阵及其运算设为阶方阵

8、，若的分块矩阵的主对角元素为非零子块，其余子块均为零子块，且非零子块均为方阵，．或其中为方阵，则称为分块对角阵．分块对角阵的行列式与各主对角块的行列式满足：由此可知，若，则，并有或例2设求．解将按元素特征分块为其中所以2.5矩阵的初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换1．初等行（列）变换定义11下列三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对换变换：对换矩阵的某两行（对换两行，记为）；（2）数乘变换：非零数乘矩阵某