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1、第九章回归分析和方差分析关键词：单因素试验一元线性回归方差分析(Analysisofvariance,简称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔(Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推断两个或两个以上总体均值是否有差异的显著性检验.§9.1单因素方差分析例：为了比较三种不同类型日光灯管的寿命(小时),现将从每种类型日光灯管中抽取8个,总共24个日光灯管进行老化试验,根据下面经老化试验后测算得出的各个日光灯管的寿命(小时)，试判断三种不同类型日光灯管的寿命是不是有存在差异.日光灯管的寿命(小时)类型寿命(小时)类型I5290
2、6210574050005930612060805310类型II58405500598062506470599054705840类型.III71306660634064707580656072906730引起日光灯管寿命不同的原因有二个方面:其一,由于日光灯类型不同,而引起寿命不同.其二,同一种类型日光灯管,由于其它随机因素的影响,也使其寿命不同.在方差分析中,通常把研究对象的特征值,即所考察的试验结果(例如日光灯管的寿命)称为试验指标.对试验指标产生影响的原因称为因素,“日光灯管类型”即为因素.因素中各个不同状态称为水平,如日光灯
3、管三个不同的类型,即为三个水平.单因素方差分析仅考虑有一个因素A对试验指标的影响.假如因素A有r个水平,分别在第i水平下进行了多次独立观测,所得到的试验指标的数据每个总体相互独立.因此,可写成如下的数学模型:方差分析的目的就是要比较因素A的r个水平下试验指标理论均值的差异,问题可归结为比较这r个总体的均值差异.检验假设假设等价于为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和分解。即假设数据总的差异用总离差平方和分解为二个部分:一部分是由于因素A引起的差异,即效应平方和另一部分则由随机误差所引起的差异，即误差平方和。证明：定理9.1.1方差
4、来源平方和自由度均方F比因素As-1误差n-s总和n-1单因素试验方差分析表例1设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：(=0.05)药物x治愈所需天数y15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，6这里药物是因子，共有5个水平，这是一个单因素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物的效果都没有差别”。方差来源平方和自由度均方F比因素A36.4
5、6749.1173.90误差58.500252.334总和94.96729未知参数的估计以下面的例子来说明用Excel进行方差分析的方法:保险公司某一险种在四个不同地区一年的索赔额情况记录如表所示.试判断在四个不同地区索赔额有无显著的差异?保险索赔记录地区索赔额(万元)A11.601.611.651.681.701.701.78A21.501.641.401.701.75A31.641.551.601.621.641.601.741.80A41.511.521.531.571.641.60方差来源平方和自由度均方F比P-valueF
6、crit组内0.049230.01642.16580.12083.0491组间0.1666220.0076总计0.215825方差分析表方差分析和其它统计推断一样,样本的独立性对方差分析是非常重要的,在实际应用中会经常遇到非随机样本的情况,这时使用方差分析得出的结论不可靠.因此,在安排试验或采集数据的过程中,一定要注意样本的独立性问题.在实际中,没有一个总体真正服从正态分布的,但方差分析却依赖于正态性的假设.但经验可知,方差分析F.检验对正态性的假设并不是非常敏感,也就是说,实际所得到的数据,如果没有异常值和偏性,或者说,数据显示的
7、分布比较对称的话,即使样本容量比较小(如每个水平下的样本容量仅为5左右),方差分析的结果仍是值得依赖的.方差齐性对于方差分析是非常重要的,因此在方差分析之前往往要进行方差齐性的诊断,即检验假设通常可采用Barlett检验.方差齐性检验也可采用如下的经验准则:当最大样本标准差不超过最小样本标准差的两倍时,方差分析F检验结果近似正确.§3一元线性回归分析一、确定性关系：当自变量给定一个值时，就确定应变量的值与之对应。如：在自由落体中，物体下落的高度h与下落时间t之间有函数关系：变量与变量之间的关系二、相关性关系：变量之间的关系并不确定，
8、而是表现为具有随机性的一种“趋势”。即对自变量x的同一值，在不同的观测中，因变量Y可以取不同的值，而且取值是随机的，但对应x在一定范围的不同值，对Y进行观测时，可以观察到Y随x的变化而呈现有一定趋势的变化。如：身高与体重，不存在这样的
