龙格库塔算法课件.ppt

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1、常微分方程的数值解法本章主要内容：欧拉法欧拉公式的截断误差改进欧拉法龙格—库塔法重点：欧拉法、龙格—库塔法难点：局部截断误差，龙格—库塔法14.1欧拉法14.1.1欧拉公式本章的学习目的是要通过数值解法，求解一阶微分方程的初值问题。设一阶微分方程的初值问题为怎样求呢？我们过点以为斜率作切线切线方程为以代入，得再以x1作为x0，用上面的方法作切线求y2，如此下去得到，从而求得的近似值。这种解法称为欧拉法。如果的取法是等步长的。记上面用欧拉法求解的公式可表示成：这一公式称为欧拉公式。欧拉法的几何意义：

2、例1用欧拉法求初值问题在处的近似值。解：列表计算，局部截断误差精确解与近似解之间的误差称为局部截断误差。由泰勒展开式可知：因此，欧拉法具有一阶精度。它的局部截断误差是关于步长h的二阶无穷小量。即：14.1.2改进欧拉法求微分方程的解，最简单的想法就是直接积分这在高等数学中可能是不可行的，但在数值分析中却是可行的。用数值积分的梯形公式代入，有：这是求的近似值的梯形公式。由于等式的两边都有，不好直接计算，称为隐式形式。但由于是近似计算，我们可以先用欧拉公式求出的一个近似值，然后把这个近似值代入等号的右

3、边，计算等号左边的，前者称为预报值，后者称为校正值。这种方法称为改进欧拉法。公式可表示为：公式也可表示为：写成一个式子。就是：也可表示为平均值的形式：改进欧拉法具有二阶精度。它的局部截断误差是关于步长h的三阶无穷小量。即：例2用改进欧拉法求例1初值问题的近似解。解：本题用改进欧拉法求解的公式为：列表计算，[2001年7月试卷计算题14]用改进的欧拉法预报—校正公式，取步长h=0.2求解初值得问题解：本题改进欧拉法的预报—校正公式为：当k=0时，当k=1时，14.2龙格—库塔法14.2.1龙格—库塔

4、法的基本思想设一阶微分方程的初值问题的解为。如果是等距节点，记步长根据微分中值定理上式中而根据题设故有：由于是中满足微分中值定理的点的导数因此，称为平均斜率则：如取处的斜率作为平均斜率的近似值，则得欧拉公式，它的近似等级为。如取处的斜率的平均数作为平均斜率的近似值，则得改进欧拉公式，它的近似等级为。公式为：由此想到，我们是否可以在中多取几个点，再以它们的某种平均值作为，把精度进一步提高呢？假设在中取n个点其中，斜率为如果取第一个点为，则取平均斜率的计算方法为则：其中：恰当的选取公式中的常数，就可以

5、使精度尽量地高。这就是龙格—库塔法的一般公式。14.2.2二阶龙格—库塔法假设在中再取一个点如果取第一个点为，则取点为第二个点，则：公式为：恰当的选取，可以使精度达到。这就是二阶龙格—库塔公式。常见的二阶龙格—库塔公式称为中点公式。它是二阶龙格—库塔公式中的结果。14.2.3三、四阶龙格—库塔法三阶龙格—库塔法的一般公式为其中：该公式的局部截断误差为。四阶龙格—库塔法的一般公式为其中：该公式的局部截断误差可达。四阶龙格—库塔法的优点是；⑴它是一步法，即已知yk就可以求出yk+1，不需要知道其它的数

6、据。⑵精确度高。缺点是计算量大。在一个步长的计算中，要四次计算f(x,y)的值。例如，用四阶龙格—库塔法再解在处的近似值。解：我们仍然用Excel列表计算，为了清楚，先用公式计算出，再计算出，然后按步长增加，计算下一步长。计算结果为：解常微分方程初值问题的三阶龙格——库塔法的局部截断误差是。作业：P.185P.203带※的练习题