韦达定理及其推广应用.pdf

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1、韦达定理及其推广应用杨艳丽王广富z(1．保山学院数学学院，云南保山678000)(2．华东交通大学基础科学学院，江西南昌330013)【摘要】韦达定理是初等数学中的重要内容，它是揭示一元二次方程根与系数关系的重要定理。利用多项式理论将其推广到一元n次方程中，并介绍其简单应用。【关键词】韦达定理；多项式；根；系数【中图分类号】O13【文献标识码】Adoi：10．3969~。issn．1674—9340．2011．05．021【文章编号11674—9340(2011)05—086—03高等代数是初等代数的延拓和

2、提高，是高一6+~／b2-4ac一6一、／6一4(1cb校数学专业的一门重要基础课程，是让学生通1+．2=————■——一+．————■———一=一——，Z口Z口口过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练，逐步形6+"~v／b2_成运用代数的原理和方法解决实际问题的思一4ac一6一、／6一4ccz——。——’维模式和思维习惯。多项式理论是高等代数的这就是著名的韦达定理。重要内容，在数学的其它分支(特别是初等代数)中有着广泛的应用，特别是根与系数的关，0韦达定理应用广泛，在初等代数、三角、系，即韦达定理，在方程论中

3、有着重要的应用【】解析几何中均有体现，下面简单列举几例。P51-52利用它可以进一步讨论方程根的性质，也e例1、若是方程一5+6=0的两根，不可以把一些表面上不是一元二次方程的问题解方程求l22的值[2~100-0。转化为一元二次方程来讨论。本文先回顾韦达解：’．’12=5，1‘2=6定理的应用，进一步讨论将韦达定理推广到一·x13x3-元19,次方程中根与系数的关系及其简单应用。．．212-Xl2[l帆2)‘一12]1．韦达定理——一元二次方程中根与=6×(25—2X6)系数的关系=78法国数学家韦达最重

4、要的贡献是对代数例2、已知AABC的边长分别为o,b，c且口>学的推进，他最早系统地引人代数符号，发现6>c，2b：+c，6为正整数，若+b2+~2=84代数方程的根与系数之间的关系(人们把这个，求6的值。关系称为韦达定理)，推进了方程论的发展。解：由题设知设一元二次方程僦‘+bx+c=O(a,b，c∈R，口≠2b=a+c，①D)的两根为，由求根公式知戈，=2+62+2：口c84②b~'~／-b2__4ac测有②可变为(叶c)‘一2ac=84一b③收入日期：201l_o8—23基金项目：云南省教育厅科学研究

5、基金(项目编号：09Y0461)，保山学院科学研究基金(项目编号：09B017K)。作者简介：杨艳丽(1982-)，女，云南保山人，保山学院数学学院，讲师，硕士，研究方向为信息代数。韦达定理及其推广应用其中第k(k=l，2，⋯)个等式右端是一切可①代人③，得oc=④能的．1}个根的乘积之和乘一(一1)。．肌。是关于的一元二次方程x2_2b一．如果多项式厂)=+0。++⋯+一15b-84x+an的首项系数％≠1，那么应用根与系数的关——=0的两个不相等的正实根。系时必须先用除各次项的系数，这样做多项A=4b一

6、4×曼>0式的根并无改变，这时根与系数的关系为：4×，_I二>0．^0，—=一1+2+⋯+，1)5b-84％——>0．2=12+lx3+⋯慨n1~16

7、根、／(丁p-2，2一一1·、／了=、／解得p一2的多项式。例4、求有单根1，一2，有重根3的四次多项或p=6。故抛物线方程为)，‘一4xs~Xry‘=12x。式。2．推广——一元，1次多项式中根与系数解：设触)=一1)+2)一3)‘，由根与系数的的关系[3]P39-41关系，有代数基本定理：V／∈CU．]，若a))≥一(1—2+3+3)=一51，则如)则复数域c_k必有一根。1X(-2)+1X3+1X3+(-2)X3+(-2)X3+3×3=1根的个数定理：任-P[x]中的n(n≥1,n∈-(1X(-2)X

8、+1X(-2)X3+1X3X3+(-2)X3X3)J7、7)次多项式，在数域P中至多有n个根，重根按=21重数计。1X(-2)X3×3—18韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。4。i~21x)=x-5x++21x—一183或舷)：=口(4一5x慨十设)=“+01n-1++⋯+_lX+0(‘)是+21x-18)(a#O)。一个(n>0)次多项式，在复数域c上触)一定有n例5、已知方程一7+83一2++5：0有个根