2019_2020学年高中数学第11章算法初步11.4算法案例学案湘教版必修.doc

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1、11.4　算法案例　1.理解辗转相除法与秦九韶算法的含义，了解其执行过程.　2.掌握用算法解决实际问题.1.辗转相除法所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大数除以较小数Ｗ.若余数不为零，则将余数和较小数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数的最大公约数.伪代码如下：INPUT　a，bDO　r＝aMODb　a＝b　b＝rLOOPUNTIL　r＝0PRINT　aEND2.秦九韶算法秦九韶算法其实质是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，最多只需做n次乘法和n次加法即可.伪代码如下：INPUT　“n＝”；nINPUT　“a

2、n＝”；aINPUT　“x＝”；xv＝ak＝n－1WHILE　k>＝0PRINT　“k＝”；kINPUT　“ak＝”；av＝v*x＋ak＝k－1WEND9PRINT　vEND1.判断正误.(对的打“√”，错的打“×”)(1)求两个正整数的最大公约数可以用辗转相除法.(　　)(2)利用秦九韶算法计算时，乘法运算与加法运算次数相等.(　　)答案：(1)√　(2)×2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是(　　)A.6，6B.5，6C.5，5D.6，5答案：A3.“辗转相除法”与“更相减损术”有何区别？解：

3、辗转相除法的操作过程是先用两个数中较大的数除以较小的数，得商和余数；再用除数除以余数，重复操作，直到出现余数为零，则这个最小除数就是两个数的最大公约数；而更相减损术是用较大数减去较小数，再把差与较小数作为一对相减直至差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数.　辗转相除法[学生用书P22]　利用辗转相除法求46，115和276的最大公约数.【解】　求三个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，然后求第三个数与前两个数的最大公约数.276＝2×115＋46，115＝2×46＋23，46＝23×2，所以276与115的最大公约数为23.又46与23的最大公约数为23，所以46、115和276的

4、最大公约数为23.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数.　　1.378与90的最大公约数为　　　　Ｗ.解析：辗转相除法：9378＝90×4＋18，90＝18×5＋0，所以378与90的最大公约数是18.答案：18　二分法[学生用书P22]　写出用二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1，2]内的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法.【解】　算法如下：S1：令f(x)＝x3－2x－3，a＝1，b＝2，c＝0.001；

5、S2：取x0＝；S3：若

6、a－b

7、≥c，则进入S4；否则输出x0结束算法；S4：若f(x0)≠0，则进入S5；否则x＝x0就是方程的根，输出x0，结束算法；S5：若f(x0)f(a)>0，则解在[x0，b]中，用x0替换a；若f(x0)f(a)<0，则解在[a，x0]中，用x0替换b，返回S2.用二分法求方程的近似解的步骤(1)画草图探索解所在的区间；　(2)用二分法求符合限制条件的解；(3)编制伪代码用计算机完成.　2.写出用二分法求方程x2－2＝0的一个正的近似解(误差不超过0.005)的算法.解：算法如下：S1：令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以令a＝1，b＝2，

8、c＝0.005；S2：取x0＝；S3：若

9、a－b

10、≥c，则进入S4；否则输出x0结束算法；S4：若f(x0)≠0，则进入S5；否则x＝x0就是方程的根，输出x0，结束算法；S5：若f(a)·f(x0)>0，则解在[x0，b]，用x0替换a；若f(x0)f(a)<0，则解在[a，x0]，用x0替换b；返回S2.　秦九韶算法[学生用书P23]　用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值.【解】　将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.9由内向外依次计算一次多项式当x＝2

11、时的值，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0，所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.秦九韶算法的步骤　　3.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时，v3的值为(　　)A.27　　　B．11　　　　C.1