计算机图形学04：自由曲线和曲面.ppt

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1、第4讲：自由曲线和曲面第四章：自由曲线和曲面参数样条曲线Bezier曲线B样条曲线自由曲面概述从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性（2）几何不变性：对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。（3）易于定界（4）统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库概述标量函数：平面曲线y=f(x)空间曲线y=f(x)z=g(x)矢量函数：平面曲线P(t)=[x(t)y(t)]空间曲线P(t)=[x(t)y(t)z(t)]插值、逼近和拟合插值——严格通过已知型值点逼近——近似地地接近已知型值点拟合

2、——以上两种方法统称插值逼近自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法参数表示的好处有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化

3、了计算设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义1参数样条曲线曲线的三种坐标表示法直角坐标表示1)显式：y=f(x)如y=sin(x)2)隐式：f(x,y)=0参数坐标表达式1参数样条曲线极坐标表示对于任一坐标曲线，坐标变换关系式：例：阿基米德螺线：1参数样条曲线参数坐标表示例：弹道曲线：1参数样条曲线二次参数样条曲线或曲面三次参数样条曲线或曲面参数样条曲线术语型值点和控制点型值点或控制点的个数=曲线次数+1切线、法线和曲率切线是一阶导数，曲率是二阶导数1参数样条曲线2.切线、

4、法线和曲率曲率公式αα+dαdαMQdsx=x(t),y=y(t),t[0,1]z=z(t),矢量形式：P=P(t),t[0,1]P(t)的k阶导数§1参数样条曲线对t=t0，若P’(t0)=[x’(t0),y’(t0),z’(t0)]T0，则称P(t0)为正则点。正则点的几何意义是什么？§1参数样条曲线导数的意义是P对t的变化率，P’(t0)=0意味着P在t0处为水平线。切矢量OPP(t)P(t+t)P’(t)xy曲线弧长P0P1Pn法矢量N(s)法平面切平面P(s)B(s)T(s)T(s)为单位矢量T(s)2=1N(s

5、)=T’(s)所以N(s)与T(s)垂直曲率T(s)P(s)P(s+s)T(s+s)T(s+s)T(s)RQ参数连续性和几何连续性0阶参数连续性C0连续性如：折线1阶参数连续性C1连续性如：直线2阶参数连续性C2连续性如：圆、抛物线、双曲线3三次Hermite曲线定义给定4个矢量，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线P0R0R1三次Hermite曲线矩阵表示条件三次Hermite曲线合并解三次Hermite曲线基矩阵与基函数（调和函数）24三次Hermite曲线形状控制改变端点位置矢量P0,P1调节切矢量R

6、0,R1的方向调节切矢量R0,R1的长度Heimite插值曲线并不唯一，需要给出端点条件三次插值样条曲线的端点条件二次插值样条需要四个条件。在全部点列Pi(i=1,2,···,n)中，得到n-3段曲线：P0P1P2Pn-1PnPn+1P0和Pn+1的不同会导致不同的曲线三次插值样条曲线的端点条件三次插值样条的端点条件（常用）。①已知两端的切矢P'1和P'n②自由端条件③形成封闭曲线P0P1P2PnPnPn+1P’1P’n27三次Hermite曲线优点：简单，易于理解缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便所有参数插值

7、曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计28三次Hermite曲线优点：简单，易于理解缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便所有参数插值曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计Bezier曲线表达式二次Bezier曲线：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2三次Bezier曲线：P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P33Bezier曲线Bezier

8、曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础用于汽车设计的UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用Bezier曲线Bezier基函数--Bernstein多项式的定义32Bezier曲线Bezie