高等数学多元函数微分法.doc

《高等数学多元函数微分法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学容：一、区域1．邻域设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即=，也就是={│}。在几何上，就是平面上以点为中心、为半径的圆部的点的全体。2．区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点的某一邻域，则称为的点。显然，的点属于。如果的点都是点，则称为开集。例

2、如，集合中每个点都是1的点，因此1为开集。如果点的任一邻域既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点。的边界点的全体称为的边界。例如上例中，1的边界是圆周和=4。设D是点集。如果对于D任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，及都是区域。开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如{│≥0}及{│1≤≤4}都是闭区域。对于平面点集,如果存在某一正数，使得，其中是原点坐标，则称为有界点集，否则称为无界点集。例如，{│1≤≤4}是有界闭区域，{│>0}是无界开区域。二、多元函数概念

3、在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积V和它的底半径、高之间具有关系。这里，当、在集合取定一对值时，的对应值就随之确定。例2一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系=，其中为常数。这里，当、在集合取定一对值时，的对应值就随之确定。定义1设是平面上的一个点集。称映射为定义在上的二元函数，通常记为，（或，）。其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量。数集称为该函数的值域。是的函数也可记为，等等。类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集换成维空间的点集，则可类似地可以定义元函数。元函数也可简

4、记为，这里点。当时，元函数就是一元函数。当时，元函数就统称为多元函数。关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。例如，函数的定义域为（图8-1），就是一个无界开区域。又如，函数的定义域为（图8-2），这是一个有界闭区域。图8-1图8-2设函数的定义域为。对于任意取定的点，对应的函数值为。这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点。当遍取上的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形。通常我们也说二元函数的图形是一曲面。三、多元函数的极限定义2设二元

5、函数的定义域为，是的聚点。如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记作，或（）。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于。因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。考察函数显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，。虽然点以上述两种特殊方式(沿轴

6、或沿轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在.这是因为当点沿着直线趋于点时,有，显然它是随着的值的不同而改变的.例3求.解这里的定义域为，为的聚点。由极限运算法则得。四、多元函数的连续性定义3设函数在开区域（闭区域）有定义，是聚点，且。如果,则称函数在点连续。如果函数在开区域（或闭区域）的每一点连续，那么就称函数在连续，或者称是的连续函数。若函数在点不连续，则称为函数的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）某些孤立点，或者沿D某些曲线，函数没有定义，但在其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点。前面已经讨论过的函数当时的极限不存

7、在，所以点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值。这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切P∈D,有.性质2（介值定理）在有界闭区域上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。一切多元初等函数