专题6.5 数列综合问题（讲）-2019年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） Word版含解析.doc

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1、【直击考点】1．对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．从而，当时，，所以，因此等差数列是“数列”．（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，，①所以数列是等差数列．【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明为等差数列的方法：①用定义证明：为常数）；②用等差中项证明：；③通项法：为关于的一次函数；④前项和法：．2．记，对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公

2、比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设，则因此由，因此中最大项必在A中，由（2）得.①若是的子集，则.②若是的子集，则.③若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即.又，

3、故，从而，故，所以，即.综合①②③得，.【考点】等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题有三个难点：一是数列新定义，利用新定义确定等比数列的首项，再代入等比数列通项公式求解；二是利用放缩法求证不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质，以算代征；三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.3．设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列

4、，总存在两个“数列”和，使得成立.【答案】（1）祥见解析；（2）；（3）祥见解析．4．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.【答案】（1）..（2）.【解析】由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等

5、，本题考查错位相减法求和.【考点深度剖析】高考对数列综合应用问题的考查有四种主要形式：一是等差、等比的综合应用；二是等差、等比数列在实际中的应用；三是数列与函数、方程、不等式等其他知识的交汇考察．纵观2018各地高考试题，等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等式、向量、平面解析几何、向量、三角函数的有机结合，互相渗透，已经成为近年来高考的热点和重点，成为高考题的美丽的风景线．对等差数列与等比数列的综合考察．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么

6、，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．对数列与应用问题的结合的考察，主要是将实际应用问题转化为数列模型，关键是要熟悉等差数列模型、等比数列模型，以及注意项与项之间的递推关系．数列与函数、方程、不等式的结合，此类问题抓住一个中心-----函数,一是数列和函数的密切联系，数列的通项公式是数列的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，注意利用它们的对应关系解题．数列与其他知识的结合，主要是通过三角函数或者解析几何或者向量中包含的等量关系，得出数列的递推公

7、式或者通项公式，进而利用数列知识求解．数列问题是每年必考题目，预测2018年会继续考查，以等差数列和等比数列的综合应用题为主，要灵活掌握等差数列和等比数列的性质．【重点难点突破】【考点1】等差数列、等比数列的综合应用【备考知识梳理】1．等差数列的判定：①（为常数）；②；③（为常数）；④（为常数）．其中用来证明方法的有①②．2.等比数列的判定：①（）；②（）；③；④其中用来证明方法的有①②．3．等差数列的通项公式：，2．等比数列的通项公式：，4．等差数列前n项和公式：Sn=Sn=5.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的

8、正比例式)；当q≠1时，Sn=Sn=6等差数列{an}中，若m+n=p+q，则7等比数列{an}中，若m+n=p+q，则8等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、……仍为等差数列9等比数