无穷级数习题及答案.doc

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1、第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．；2．；3．。判断下列正项级数的敛散性4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11．；12．；13．；14．；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15．；16．；17．；18．；19．；20．；求下列级数的和函数21．；22．；将下列函数展开成的幂的级数23．，；24．，；25．，；26．，；将下列函数在区间上展开为付里叶级数27．，。28．，29．将函数展开成付里叶级数。30．将函数分别展开成

2、正弦级数和余弦级数。(B)用定义判断下列级数的敛散性1．；2．；3．；判断下列正项级数的敛散性4．；5．；6．，()；7．，其中()，，，均为正数；8．，()；9．；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛10．；11．；12．；求下列幂级数的收敛半径和收敛域13．；14．，(,)；15．；16．；求下列级数的和函数17．；18．；19．；20．求证：；将下列函数展开成的幂的级数21．，；22．，；23．，；24．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数，，的付里叶级数，并

3、讨论收敛情况。26．设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将展开成付里叶级数。27．将函数，()分别展开成正弦级数和余弦级数。(C)1．用定义判断下列级数的敛散性2．设，，判断级数的敛散性。判断下列正项级数的敛散性3．；4．；5．；6．判断级数的敛散性。求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7．；8．；求下列级数的和9．10．展开为幂级数，并推出。11．求级数的收敛区间及和函数。12．设函数，试分别将展成为以为周期的区弦级数和余弦级数。13．将周期函数，展为付氏级数，并据此求周期函数，，的付氏级数，求下面

4、级数。第十一章无穷级数(A)1．解：∵，(),∴原级数发散。2．解：∵，()，∴原级数收敛且和为。3．解：∵，()，∴原级数收敛且和为。4．解：∵，∴由比值判别法知原级数发散。5．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛。6．解：∵，∴原级数发散。7．解：∵，而发散，∴由比较判别法知原级数发散。8．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛。9．解：∵，∴由比值判别法知，原级数收敛。10．解：∵，而，故，∴由比值判别法知，原级数收敛。11．解：，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12．解：

5、，而发散，故发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然，，且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13．解：∵，∴原级数发散。14．解：此为交错级数，∵，()而级数发散，故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15．解：∵，∴，当时，级数为发散，当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。16．解：∵，，∴，收敛区间为。17．解：∵，，∴。18．解：∵，∴。故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散。故收敛区间为。19．解：∵，，当时，即时收敛，当，即或时发

6、散，∴。当时原级数为，发散，故收敛区间为。20．解：∵，，∴，当时，原级数，发散。故收敛区间为。21．解：设，，∴，。22．解：设，，则，即，∴，。23．解：，。24．解：，。25．解：，。26．解：，即27．解：∵为偶函数，∴，，令，得，且在上连续∴，。28．解：由于是奇函数，故，∴。29．解：，时，。时，，所以除上均成立。30．解：1）正弦级数，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再将周期延拓得，，是一个以为周期的连续函数，，，计算付氏系数如下：，(),∴,.2)余弦函数作偶延拓设，使在上恒有。再将周期

7、延拓得，，是一个以为周期的连续函数，，，计算付氏系数如下：,∴,.(B)1．解：∵,，∴原级数收敛且和为。2．解：∵，，∴原级数收敛且和为。3．解：∵，，∴原级数收敛且和为。4．解：∵，∴由比值判别法知原级数收敛。5．解：∵，∴由根值判别法知原级数收敛。6．解：∵当充分大时有，而，故，∴由根值判别法知原级数收敛。7．解：∵，，∴当，即时，原级数收敛；，即，原级数发散，当时不定。8．解：当时，∵，∴级数发散。当时，∵，()，而收敛，∴级数发散。9．解：∵，∵收敛，∴由比较判别法知级数收敛。10．解：∵，

8、，故也发散，故也非条件收敛。11．解：∵，而发散，故级数发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12．解：∵，而发散，∴发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为为交错级数，∵又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。13．解：∵，，故对，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为。14．∵，∴，当时，原级数发散，故收敛区间为，其中。15．解：∵，，∴当，即时，原级数收敛，当，即