有限元方法理论及应用.pdf

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1、有限元方法理论及应用一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理1.1有限单元法概述有限元法是在当今工程分析中获得最广泛应用的数字计算方法，并借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。有限元法是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限元法作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数

2、通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数表达。这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。1.2弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础弹性力学问题的有限元

3、法中，除了离散化和分片插值思想外，基础是弹性力学的变分原理（最小势能原理）和变分解法瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz）。1.2.1弹性力学有限元位移法的基本思想有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。这样组成有限的单元集合体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体。然后利用在每一个单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域

4、上待求的未知场函数。有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊形式，即采用分片试探函数（假设位移场）的里兹法。并能容易的解决复杂几何形状的二、三维问题。1.2.2弹性力学有限元位移法的数学、力学基础1.变分原理（最小总势能原理）公式定义：总势能=应变能－已知外力所作的功应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中，即为应变能。总势能：对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函

5、数的泛函。对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。可能位移——满足内部连续性和位移边界条件的位移场。如何在所有“可能位移（场）”中求得真实位移，引入最小总势能原理。1有限元方法理论及应用最小总势能原理：一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。2.瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz）瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件

6、求“最好”近似解的一种普遍适用方法。其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程的重要特点：1)在求解域整体上假定位移场（试探函数）；2)假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何约束条件）和简单的。3)要得到收敛解，试探函数必须是完备的。4)里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。由于假定的位移模式往往给结构加上了约束，使结构不能按其

7、要求的方式自由变形，从而刚化了结构。1.3有限元法求解的原理和过程1.3.1有限元法求解的原理和过程概论由经典里兹法引出有限元法：由于经典里兹法求解时需要在求解域整体上假定位移场，且位移场必须满足连续性和边界位移约束条件（许可位移），因此经典里兹法在解决实际问题时，尤其是复杂几何形状的二、三维问题，具有很大局限性。解决的办法是在求解区域上分片假设位移场。有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊形式，即采用分片试探函数（假设位移场）的里兹法。里兹解收敛必须满足的条件：除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即包含完全低阶

8、多项式。对于有限元法，解的收敛除了包含里兹法意义上的收敛外，显然，当单元尺寸趋向于零时，有限元解应该趋于问题的精确解。这就