《有限元方法理论及其应用》综合考试

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1、《有限元方法理论及其应用》综合考试1等参单元及其应用1.1概述通常用的一些三角形、矩形、六面体单元都是形状很规则的单元。对于形状规则的连续体，用这些单元来离散可以获得比较好的结果。但是，对于一些几何形状比较复杂的连续体，再用这些单元离散就比较困难。因为单元的节点数越多，单元精度越高，因此在这一点上，矩形单元优于3节点三角形单元，六面体单元优于四面体单元；其次是单元几何上的限制，上述矩形和六面体单元都不能模拟任意形状几何体，所有几种单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。于是，有人就想出了坐标变换的方法来解决这个问题。通过一一对应的坐标变换，把规则的单元转变成形状不规

2、则的单元，就可以用它们来离散几何形状复杂的连续体。解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度实用单元。但是这类单元位移模式和形函数的构造和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所谓的等参变换，采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等参单元。图1为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。但在建立单元位移模式时产生了新的问题：单元上没有一个如矩形单元中的

3、简单直接的局部坐标系，而又不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式。须建立一种新的局部坐标系ξ-η（如图），使得4条边的坐标为常数（±1），则在ξ-η平面内，单元是一个边长为2的正方形。同时，该局部坐标系的建立在x-y平面上的任意四边形单元与ξ-η平面上的正方形之间形成了一个1-1对应的映射关系。40《有限元方法理论及其应用》综合考试图14节点任意四边形单元及其母单元称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元。x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元。显然，母单元的节点相应于不同的x，y坐标就得到不同的任意四边形单元。建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上

4、的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）与矩形单元相同：(i=1,2,3,4)当然，该位移模式在x，y坐标系下不是双线性位移模式，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。为了得到上述映射的数学表达，引入对母单元节点上x，y坐标进行插值的思想，将母单元上每一点对应的x，y坐标看成是对节点坐标的插值，插值函数与位移插值中的形函数相同：这样就得到了一个事实上的映射，只要证明该映射确实把母单元映射成为实际单元，就是所需要的映射。40《有限元方法理论及其应用》综合考试该映射是用母单元描述实际单元力学特性

5、的桥梁。由于该几何变换式中采用了与位移模式相同的参数（插值函数），因此称为等参变换。而所有采用等参变换的单元都称为等参单元。为了使实际问题物理坐标系内的单元刚度、质量、阻尼、载荷等特性矩阵的计算也能在局部的自然坐标表示的规则域内进行计算，还需要研究这些矩阵积分式内被积函数中所涉及的导数、体积微元、面积微元、线段微元的变换以及积分限的置换。实现了这种变换和置换，则不管各个积分式中的被积函数如何复杂，都可以方便地采用标准化的数值积分方法进行计算，从而使各类不同工程实际问题的有限元分析纳入统一的通用化的程序。借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行

6、有限元离散。因此，等参元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了重要的一部。1.2等参单元的数值积分1.2.1等参单元刚度矩阵的数值积分方法通常都用数值积分代替函数积分，即在单元内选出某些点，称为积分点，算出被积函数在这些积分点处的函数值，然后用对应的加权系数乘亡这些函数值，再求出总和，将其作为近似的积分值。1.2.1.1一维数值积分首先构造一个多项式,使在（i=1，2，3…，n）上有=，然后用近似函数的积分来近似原被积函数的积分。称为积分点或取样点。积分点的数目和位置决定了近似的程度，因而也就决定了数值积分的精度。对于n个积分点，按照积分点位置的

7、不同选择，通常采用两种不同的数值积分方案，即Newton-Cotes积分方案和高斯积分方案。①Newton-Cotes积分对于n个积分点，根据积分点上的被积函数值可以构造一个近似多项式，使在积分点上有40《有限元方法理论及其应用》综合考试=(i=1,2,···n)上式用拉格朗日多项式表示=其中是n-1阶拉格朗日插值函数。由于拉格朗日插值函数有如下性质：的积分为并令则可得=式中为积分的权系数。Newton-Cotes积分中，积分点的位置按等间距分布，即用近似，可以写出+式中为余项。引入一些变量后40《有限元方法理论及其应用》综合考试②高斯积