高中数学第二章函数2.2.2二次函数的性质与图象学案新人教B版必修.doc

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1、2.2.2　二次函数的性质与图象[学习目标]　1.会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象.2.通过图象研究二次函数的性质.3.掌握研究二次函数常用的方法——配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域).[知识链接]函数y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，它的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x＝1，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1).[预习导引]1.二次函数(1)定义：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数.(2)解析式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：y＝

2、a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点.③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.2.二次函数的性质与图象函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a＞0a＜0性质抛物线开口向上抛物线开口向下对称轴是x＝－对称轴是x＝－在区间(－∞，－]上是减函数，在区间[－，＋∞)上是增函数在区间(－∞，－]上是增函数，在区间[－，＋∞)上是减函数当x＝－时，y有最小值，ymin＝当x＝－时，y有最大值，ymax＝b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数解决学生

3、疑难点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　二次函数的图象与应用例1　画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.解　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示.(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x

4、＝1且开口向下，且

5、0－1

6、＜

7、3－1

8、，故f(1)＞f(0)＞f(3).(2)∵x1＜x2＜1，∴

9、x1－1

10、＞

11、x2－1

12、，∴f(x1)＜f(x2).(3)由图可知：当x＞3或x＜－1时，y＜0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＞0.规律方法　观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.跟踪演练1　已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口

13、方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.解　(1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，图象如图由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8).(2)由图象可知，x＞3，或x＜－1时，y＞0；x＝－1或x＝3时，y＝0；－1＜x＜3时，y＜0.要点二　二次函数性质及应用例2　已知函数f(x)＝x

14、x－2

15、.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)(3)已知f(x)＝，求x的值.解　(1)

16、f(x)＝x

17、x－2

18、＝作图如下：(2)单调递增区间(－∞，1]，[2，＋∞)；单调递减区间(1,2)，(3)∵f(x)＝，∴当x≥2时，x2－2x＝，∴x＝1＋或x＝1－(舍去)，当x＜2时，－x2＋2x＝，∴x＝1±，∴x的值为1±，1＋.规律方法　二次函数的图象及性质是解决二次函数问题最基本的知识，注意数形结合寻找解题思路.跟踪演练2　若函数f(x)＝(a－2)x2＋2x－4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是________.答案　(－∞，)解析　由题意知，二次函数开口向下且与x轴无交点.即解得a＜.要点三　二次函数最

19、值问题例3　(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值.(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值.(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围.解　(1)作出函数的图象，如图(1).当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.(2)作出函数的图象如图(2).当x＝1时，ymax＝－1；当x＝2时，ymin＝－5.(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3).可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值.所以，当x≥0时，函数的取值范围

20、是{y

21、y≥－1}.规律方法　求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间外，则f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值