高中数学第一章推理与证明1.1.2类比推理学业分层测评含解析北师大版选修.doc

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1、1.1.2类比推理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】　D2.下列推理正确的是(　　)A.把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋

2、y)＝sinx＋sinyC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋ynD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】　乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】　D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R＝(　　)A.B.C.D.【解析】　设四面体的内切球的球心为O，则

3、球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体SABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.【答案】　C4.在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是(　　)A.b5b7>b4b8B.b7b8>b4b5C.b5＋b7

4、(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7

5、半径为r，利用等体积法有4××r＝××⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.【答案】　C二、填空题6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】　类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝

6、23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】　4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】　Rt△ABC类比到空间为三棱锥ABCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥ABCD的外接球.【答案】　在三棱锥ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，

7、则三棱锥ABCD的外接球半径R＝8.已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论____________________.【解析】　由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴＝.【答案】　＝三、解答题9.如图1113(1)，在平面内有面积关系＝，写出图1113(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1)　　　　　　　　(2)图1113【解】　类比＝，有＝.证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.则＝，故＝＝＝.10.在等差数列{an}中，若a

8、10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】　在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角