高中数学 第一章 集合 1.2 集合的基本关系示学案 北师大版必修.doc

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1、1.2集合的基本关系示[核心必知]1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集(1)定义及记法：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(2)Venn图示：当A⊆B时，用Venn图表示，如图①，图②所示．(3)子集的性质：①任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；②规定空集∅是任何

2、集合的子集，即∅⊆A.3．集合相等(1)定义及记法：对于集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.(2)Venn图示：当A＝B时，用Venn图表示，如图所示．4．真子集(1)定义及记法：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(2)Venn图示：当AB时，用Venn图表示，如图表示．5．不包含于或不包含(1)记法：当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，

3、记作A⃘B(或B⊉A)．(2)Venn图示：[问题思考]1．符号∈和⊆有什么区别？提示：符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，∈R；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须是集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}⊆{1,0}，{x

4、x＜2}⊆{x

5、x＜3}．2．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，对吗？若将“⊆”换成“”呢？提示：对，A⊆B，B⊆C即是任意x∈A，必有x∈B，进而x∈C，

6、所以A⊆C，换成“”也对．3．空集没有子集，对吗？若A≠∅，则∅A对吗？提示：空集是任何集合的子集，所以∅⊆∅，故前一种说法不对．若A≠∅，则∅A，后一种说法对．讲一讲1．已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.[尝试解答]　由题意知，M至少含有1,2两个元素，至多有1,2,3,4,5五个元素，所以满足条件的M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共8个．若本例中条件变为{1,

7、2}M{1,2,3,4,5}，则这样的集合M共有多少个？解：有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共6个.　　　　(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即∅和集合自身．(3)含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．练一练1．设A＝{x

8、(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪

9、些是它的真子集．解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．讲一讲2．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求实数a，b的值．[尝试解答]　∵M＝N，∴或解得或或再根据集合中元素的互异性得或解决集合

10、相等问题的步骤：①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的互异性，则所求是可行的，否则应舍去．练一练2．若A＝{x

11、x2－x＝0}，B＝，则　　(　　)A．A＝B　　　B．ABC．ABD．以上都不对解析：选A　∵A＝{x

12、x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x

13、x＝，n∈Z}＝{0,1}．∴A＝B.3．试确定整数x和y，使得{2x，x＋y}＝{7,4}．解：由集合相等的定义，得或当时，解得∵x，y∈Z，∴该组解舍去．当时，解得符合题意．故x＝2且y＝5.　讲一讲3．设集合A

14、＝{x

15、x2＋4x＝0}，B＝{x

16、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[尝试解答]　A＝{x

17、x2＋4x＝0}＝{－4,0}，∵B⊆A，∴分B＝A，BA两种情况讨论．①当A＝B时，B＝{－4,0}，即－4,0是方程x2