高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1．3.1　函数的单调性与导数函数的单调性与导数已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示．问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．提示：y1′＝1在R上为正；y2′＝2x，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么

2、关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数．函数的单调性与其导数正负的关系在区间(a，b)内函数的单调性与导数的正负有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减f′(x)＝0常数函数对导数与单调性的关系的理解在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为单调递增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是单调递增

3、函数，但由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)＞0.函数与导函数图象间的关系　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为以下四个选项中的(　　)　选D　由函数的图象可知，当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪

4、个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是以下四个选项中的(　　)解析：选B　由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.判断(证明)函数的单调性　(1)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)A．y＝sin2x　　　　　　B．y＝xexC．y

5、＝x3－xD．y＝－x＋ln(1＋x)(2)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．　(1)选B　y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.(2)证明：因为f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步

6、骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．证明：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝.因为0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故f′(x)＝＞0，即函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数.利用导数求函数的单调区间　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－lnx.　(1)f′(x)＝1－3x2.令1－3x2＞0，解得－＜x＜，因此函数f(x)的单调增区间为.令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞，因此函数

7、f(x)的单调减区间为，.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x＞0，所以x＋1＞0，由f′(x)＞0，解得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出

8、单调区间．　当单调区间有多个时，不要写成并集．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3＋；(2)f(x)＝.解：(1)函数f(x)的定义域为{x∈R

9、x≠0}．f′(x)＝3x2－＝3.由f′(x)>0，解得x<－1或x>1；由f′(x)<0，解得－1