高中数学 第1章 解三角形 1.2.2 余弦定理学案 苏教版必修.doc

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1、第2课时　余弦定理(2)1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状．2．熟练边角互化．(重点)[基础·初探]教材整理　射影定理和平行四边形的性质定理阅读教材P16～P17，完成下列问题．1．射影定理在△ABC中，(1)bcosC＋ccosB＝a；(2)ccosA＋acosC＝b；(3)acosB＋bcosA＝c.2．平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．特别地，若AM是△ABC中BC边上的中线，则AM＝.1．在△ABC中，若BC＝3，则ccosB＋bcosC＝________.　【解析】　ccosB＋bcos

2、C＝BC＝3.【答案】　32．若△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，则BC边上的中线AD＝________.【解析】　在△ABC中，由余弦定理可知BC＝.∴AD＝＝＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：__________________________________

3、_______________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]利用正、余弦定理解决实际问题　某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10nmile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14nmile/h的速

4、度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？【精彩点拨】　先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．【自主解答】　如图，设该巡逻艇沿AB方向经过xh后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10xcos120°，化简得32x2－30x－27＝0，即x＝或x＝－(舍去)，∴巡逻艇需要1.5h才追赶上该走私船．∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21.在△ABC中，由正弦定理，得sin∠BAC＝＝×＝.∴

5、∠BAC＝38°13′，或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)，∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5h才追赶上该走私船．准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解．[再练一题]1．两船同时从A港出发，甲船以20nmile/h的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以12nmile/h的速度向北偏西40°方向航行，求一小时后，两船相距多少nmile.【解】　

6、一小时后甲船到B处，乙船到C处，如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(nmile)．即一小时后，两船相距28nmile.利用正、余弦定理判断三角形的形状　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状.【导学号：】【精彩点拨】　(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab求C；2cosAsinB＝sinC求A与B的关系．【自主解答】　∵(a＋b＋c)(a＋

7、b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴2abcosC＝ab，∴cosC＝，∴C＝.法一：又2cosAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．法二：由2cosAsinB＝sinC可知2b×＝c，即b2＝a2，∴a＝b，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．利用正、余弦定理判定三角形形状的策略[再练一题]2．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．【解】　法一　

8、根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴2＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.∴