高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用教案 新人教A版选修.doc

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1、定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教学过程】☆探索新知☆探究点一　求不分割型图形的面积思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1　计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.因此，所求图形的面积为S＝S曲边梯形OABC—S曲边梯形

2、OABD＝ʃdx－ʃx2dx＝x

3、－x3

4、＝－＝.反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解　由得或，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝ʃ(－x＋2)dx－ʃ(x2－4)dx＝(2x－x2)

5、－(x3－4x)

6、＝

7、－(－)＝.探究点二　分割型图形面积的求解思考　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2　计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.解　方法一　作出直线y＝x－4，曲线y＝的草图．解方程组得直线y＝x－4与曲线y＝交点的坐标为(8,4)．直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S＝S1＋S2＝ʃdx＋＝

8、＋

9、－(x－4)2

10、＝.方法二　把y看成积分变量，则S＝ʃ(y＋4－y2)dy＝(y2＋4y－y

11、3)

12、＝.反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．解　画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S＝ʃ[－(－x)]dx＋ʃ[(2－x)－(－x)]dx＝ʃ(＋x)dx＋ʃ(2－x＋x)dx＝(x＋x2)

13、＋(2x－x2＋x2)

14、＝＋＋(2x－x2)

15、＝＋6－×9－2＋＝.探

16、究点三　定积分的综合应用例3　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．解　如图，设切点A(x0，y0)，其中x0≠0，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x，令y＝0，得x＝，即C(，0)，＝(x0－)·x＝x.∴S＝x－x＝x＝.∴x0＝1，从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.反思与感悟　本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利

17、用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3　如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝ʃ(x－x2)dx＝

18、＝.又又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.☆课堂提高☆1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)A.f(x)dxB.f(x)dxC.

19、f(x)dx+f(x)dxD.f(x)dx-f(x)dx【答案】D【解析】因为在区间[a，b]上f(x)<0，所以在区间[a，b]上对应图形的面积为-f(x)dx，所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.2.已知a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为(　　)A.B.C.D.【答案】C由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2

20、xdx=sin2x

21、-sin2x

22、=-+=.3．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)A.B．2C.D.【答案】　C【解析】　∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2ʃdx＝＝4－