高中数学 1.3.3函数的最大（小）值与导数教案 新人教A版选修.doc

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1、1.3.3　函数的最大(小)值与导数教学建议1.教材分析本节是函数的极值的继续和发展,介绍了最值的求法.因此,本节的重点、难点是求闭区间[a,b]上函数f(x)的最大值和最小值.2.主要问题及教学建议(1)函数的极值与最值.建议教师利用函数图象让学生直观感受函数极值和最值的联系和区别.(2)求函数的最值.建议教师利用具体的例子,归纳、总结求函数最值的方法;另外,可适当选配一些题目帮助学生理解和掌握.(3)含参数的问题,归纳清楚分类的几种常见情况.备选习题1.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上有最大值3,最小值-29,求a

2、,b的值.解:依题意,显然a≠0,否则f(x)=b为常数,矛盾.因为f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x∈[-1,2],所以令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).①若a>0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)+0-f(x)-7a+b↗极大值↘-16a+b由上表知,当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3.所以f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,故f(-1)>f(2).所以当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2

3、.②若a<0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)-0+f(x)-7a+b↘极小值↗-16a+b所以当x=0时,f(x)取得最小值,所以f(0)=b=-29.所以f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,故f(2)>f(-1).所以当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,a=-2.综上所述,所求a,b的值为2.已知f(x)=x2-alnx,求f(x)在[1,+∞)上的最小值.解:f'(x)=2x-,①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在[1,+∞)上单调递增,

4、故f(x)min=f(1)=1;②当a>0时,令f'(x)=0得x1=-(舍去),x2=.若≤1,即01,即a>2时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:xf'(x)-0+f(x)↘极小值↗故在x=时f(x)取极小值也为最小值,所以f(x)min=fln.综上所述:当a≤2时,f(x)min=f(1)=1;当a>2时,f(x)min=fln.3.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取

5、值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数为f'(x)=1+lnx.令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得01-a≥0,故g(x)在(1,+∞)上为增函数,所以x≥1时,g(x)≥g(1)=1-a≥0,即f(x)≥ax-1.②若a>1,方程g'(x)=0的根为x0=ea-1,此

6、时,若x∈(1,x0),则g'(x)<0,故g(x)在该区间上为减函数.所以x∈(1,x0)时,g(x)1时,因为g'(x)=>0,故g(x)是(1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1.所以a的取值范围是(-∞,1].