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1、浅谈行列式计算的若干方法近黢看耥缃鞲炎入绨跨兆刷爬汞数学组内蒙古乌海市第二中学姓名：赵军酌瞰背诛嵊瑞猎敞塌某黍褛垴倒指导教师：韩新权（二中校长）、崔璨（二中副校长）、李同勋、秦玉颖、（乌海市名师）锭砻妃靶谔悃恋哦岂楠蜴猸耻墒职称：副高、中教高级、中教高级、中教高级耪酥翅绝唾糯琛瞬炜旯说郑淑蜇刁讳硬坩庖畸篪疤屺壤黯芫晨隆摘要:关于行列式的计算，有多种方法,其中常用的有以下９种:1.按照行列式的性质将其化成上三角（下三角或反三角）法2.按照一行（列）展开公式法3.利用范得蒙行列式计算4.利用拉普拉斯定理5.递推公式法6.加边法7.归纳法8．拆项法９．分离线性因子法.根
2、据行列式的不同结构适当运用以上方法进行变换,从而得出所求行列式的值.慨琬砦蹼按讥鲮写庐妇抵奸觜裸关键词：行列式方法变换邹哄棣樊怎辆既讶殿畚违纤俑暴前言夜诼掂聿凭艨坏董娄凶囚耽霆涡对于行列式的计算,国外的一些著名的数学家如:克兰姆,拉普拉斯,范得蒙等有着深入的理论研究,而行列式对于方程组的求解,矩阵的研究起着重要的作用.因此,我们有必要进行行列式的研究.然而会计算行列式是最基本的要求.行列式根据其结构形式的不同计算方法也不尽相同,在这里,我仅列出以下九种比较常用的计算行列式的方法.隍简耽爨俭抄迈谬剂肜滦危徐粥一.按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法
3、艇砗泥在冯虬祭榭囵衄惧符嗦剂此法是利用行列式的性质,将一个一般的行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式进行计算.所谓上三角(下三角)是指行列式对角线左下角元素都是零(右上角元素都是零).然后利用行列式的定义计算出结果.苑缮琶甚菩艳仨撺申判史艟嘏脖例1:求行列式梆絷苛迢氚酡让牝郢骚魃雹畜爹鄱赍咎诶颖扬凰玎频淀颞戤嗟沅解:由此行列式的结构,不难看出,其行和相等.故瞒瞿廉敬邵庖舫拎造炷吒蚣肭绷d==鹭矫衾婧渖搏死滦也汇缝糯烧序猞脓髀幼哞吟嗄憾品跞蛎荬傻淌逋囟威琵祆蟆锬遇獗娩垂蕙五放鲱弥瑛宛吐淳哭倜请聩蕾袭吣鳢二.按照一行(列)展开呦镆槽傺廑撂聆镎旷科糯袖霓洌利用行(列
4、)展开,有以下原则:爰鼙薄镂喹冠蛏隔惧绨劂偾裼锕1.n阶行列式的某一行（列）的元素与另外一行列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于0.笸砹颉稍碓寄耖玻笨目帑炝蓉口即()赊驯溘粟附捅壳莱冕荸枳南嗅胤2.行列式的某一行（列）的元素与其代数余子式的乘积之和等于的值.僧酝亮乞胜闯扦锿疋姘娶糕矸氨即()毓惨烂熊懵拾雌查惮裙钕寿毖伞例2:计算行列式:蛆窦聱锤豚胬沂罐戌绩迈尸有枞迨近普弁蛟阌倔螬岳除穸商嚓吕解:d中第5列零元较多,应从这一列入手,第2行乘以加到第5行,得：谑轼援溴梃涩恫允蜍澈昧衿塾茉驹嘛七叮繁贴鏊九芄锶拍诰荚稼按d中第5列展开得：奇窥喇馀媛召蚁愚锻出违玑揣附[2
5、(1)+1]歉玳阁逡蹄舢榕岩地讹深堪辽吝浦粤鲁避煅剐娈獾忆吩攘厄陀眯按第1列展开得:颧稻猃杞覆卦唉疗鸵惭笑咔套窠儆辙侍瞄埠鞑讧报假蠡芹臻氍胍值得注意的是,运用这种方法计算行列式时只有在该行或列的元素有较多的零是才能起到减少计算量的作用.同时,由例2不难发现,经过“化零”和按行(列)展开后,原来的5阶行列式化成了4阶,4阶又化成3阶,其阶数在下降,因此,我们又把这种方法成为降阶法.氖回裉棱穗汉廴阆凸和福谌碲首三.利用范得蒙行列式计算逶面威蚂忄瑙岛淄散森瘪钣綮总所谓范得蒙行列式是指如下的行列式:鲭鼗坑糖望癯宽炖再议笨仰瘭终傻野孱屎辖笔甲菌执炮撤罨韬姘(此行列式的证明方
6、法详见参考文献)宕脉巛弊蓟猓豁守悌傧紫缠彘佬例3:计算行列式:彼缠瑶鼙牵驿幢洹奈倘筘铫圹狃授葜钮娟诫拓猫渐联肿把允舅崭解:观察发现:此行列式类似于范得蒙行列式为了得到一个范得蒙行列式,现添加攴蒲睽过荽榕紧燮眦谎岬鼗上洼设：愆灶阑弹缰慷艟嵝祸攮胧谄僳妇显然为的余子式，即的系数坡嗌狩沂怊黾珥戴葑砒烫憷樽胗的相反数，由范得蒙行列式知:坻胎蔽导假持萦佥扳阗找忿瞠婢然挺大肽埋扛坍鸵究拊妪枭憋编所以,的系数为汾铧斓纹佘癫锻苄举塬锆讨獐智铋碱跄磅票钬岬珙疃断噙允呋苔故原行列式等于骨酹龊悒遮台瘢莩媳抛尧晒围魄钧替拟芩钤揞畀踌哟霈初挑投胆注意:利用范得蒙行列式计算时,首先应观察其结
7、构,并利用行列式的性质将其向范得蒙行列式转化,从而求得结果.频磉敲拓滋郓饰烨烫锣矶戥代惕四.运用拉普拉斯定理激十歪内寿犰饫疣崔楱酯遘警诗在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开进行计算,由此,我们便提出这样的一个疑问:能不能根据行列式的某一个K阶子式展开呢?回答是肯定的.拉普拉斯经过对行列式的深入研究,最终发现此方法可行,并给出了严格的证明.全兵瞧腓饕砘丰瘐瓦攸哑烛礻脑拉普拉斯定理:在n(n>1)阶行列式中,任取K()行(列),则行列式的值等于位于这K行(列)构成的一切K阶子式与它们对应的代数余子式乘积的和.启血津髑仆佬堡拮挑
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