课标通用2018年高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理.doc

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1、§6.3　等比数列及其前n项和考纲展示►　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1　等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项：如果a，G，b

2、成等比数列，那么________叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔________.答案：(1)2　同一个常数　公比　(2)G　G2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝________.(2)前n项和公式：Sn＝答案：(1)a1qn－1　(2)na1[典题1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．

3、(1)[证明]　∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝，又cn＝an－1，∴c1＝a1－1＝－.∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．(2)[解]　由(1)可知，cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝n.[点石成金]　等

4、比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．[提醒]　(1)前两

5、种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2a

6、n＝2(an－2an－1)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是首项为，公差为的等差数列．∴＝＋(n－1)·＝，化简，得an＝(3n－1)·2n－2.考点2　等比数列的基本运算(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.答案：3×2n－3解析：设等比数列{an}的公比为q，则②÷①，得q7＝128，即q＝2

7、，把q＝2代入①，得a1＝，∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.答案：等比数列的两个非零量：项；公比．(1)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于________．答案：－24解析：由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，则该等比数列的首项为x＝－3，公比q＝＝2，所以第4项

8、为(6x＋6)×q＝－24.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝__________.答案：－2解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0.∵a1≠0，∴q＝－2.[考情聚焦]　等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求首项a1，公比q或项数n[典题2]　[2017·浙江绍兴柯桥区高三二