2016高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和学案 理 苏教版

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1、学案29等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______

2、______.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质*(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N)．*(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则__________________．1an2(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，an，{an}，{an·bn}，bn仍是等比数列．a1>0，a1<0a1>0，a1<0(4)单调性：或⇔{an}是____

3、____数列；或⇔{an}q>101是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；nnna11－qa1q－1a1qa1当q≠1时，Sn＝＝＝－.1－qq－1q－1q－16．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．(201

4、1·苏州模拟)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________.2．(2011·湖南长郡中学模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an＝______________.3．设{an}是公比为q的等比数列，

5、q

6、>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.n4．若数列{an}的前n项和Sn＝3－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值为________．473n＋1*5．设f(n

7、)＝2＋2＋2＋…＋2(n∈N)，则f(n)＝____________.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定*例2已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an

8、}的通项公式以及Sn.变式迁移2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋*2n(n∈N)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用11111例3在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3.a1a2a3a4a5变式迁移3(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a1

9、3a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想例(14分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[4分]na11－q＝80，①1－q由题意得a1－q2n[6分]1＝6560.②1－qn将①整体代入②得80(1＋q)＝6560，n∴q＝81.[8分]n将q＝81

10、代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，∴数列{an}为递增数列．[10分]n－1a1na1∴an＝a1q＝·q＝81·＝54.qqa12∴＝.[12分]q3与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，2n－1*∴a2n＝2×3(n∈N)．[14分]【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列