课堂新坐标高中数学第1章直线多边形圆1.2.4切割线定理学案北师大版选修4.doc

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1、2.4　切割线定理1.掌握切割线定理及其推论.2.会用切割线定理及推论解决问题.[基础·初探]教材整理1　切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.(2)图形表示如图1276，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图12761.PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PB＝4，PO＝8.5，则PA＝________.【解析】　∵PB＝4，PO＝8.5，∴OB＝4.5.由切割线定理知，PA2＝4×13＝52，∴PA＝2.【答案】　2

2、教材整理2　切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积.(2)图形表示如图1277，PAB与PCD是⊙O的两条割线，则有PA·PB＝PC·PD.图12772.PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为(　　)A.4B.C.24D.2【解析】　由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝2，即PC＝2.【答案】　D教材整理3　切割线定理的逆定理(1)文

3、字叙述给定⊙O外一点P，若割线PAB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线.(2)图形表示如图1278，PAB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线.图12783.如图1279所示，P是⊙O外一点，PMN是⊙O的割线，Q是⊙O上一点，且PQ＝4，PM＝3，PN＝，则PQ与⊙O的位置关系是(　　)图1279A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解析】　PQ2＝42＝16，PM×PN＝3×＝16∴PQ2＝PM·PN.由切割线定理的逆定理知，PQ是⊙O的切线.【答案

4、】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]切割线定理　如图1280，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.图1280求证：ED2＝EC·EB.【精彩点拨】　由于EA2＝EC·EB，故只需证ED＝EA.【自主解答】　如题图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DA

5、E＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.∵EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用.[再练一题]1.如图1281，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝BC＝3，则AC的长为________.【导学号：】图1281【解析】　由切割线定理知CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，即(2)2＝BD2＋3BD，解得BD＝4或BD＝－7(舍去).∵∠BDC＝

6、∠ADC，∠DCB＝∠CAD，∴△CAD∽△BCD，∴＝，即＝，解得AC＝.【答案】　切割线定理的推论　如图1282，PAB和PCD为圆的两条割线，交圆于A，B和C，D各点，若PA＝5，AB＝7，CD＝11.求AC∶BD.图1282【精彩点拨】　线段AC，BD分别在△PAC和△PBD中，可考虑它们的相似关系.【自主解答】　由切割线定理的推论知，PA·PB＝PC·PD①即＝，又∠P为公共角，∴△PAC∽△PDB.∴＝.②又∵PA＝5，AB＝7，CD＝11，∴PB＝12.由①知5×12＝PC(PC＋11)，∴PC＝4或PC＝－1

7、5(舍去)，∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15.由②得＝＝，即AC∶BD＝1∶3.1.本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依据是切割线定理的推论.2.切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用.[再练一题]2.如图1283所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点.若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________.图1283【解析】　设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r

8、＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的切割线定理的推论知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝.【答案】　定理的综合应用　如图1284，P是⊙O的直径CB的延长线上一点，PA和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5.图1284(1)求t