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时间:2020-06-28
《高中数学《曲线与方程》文字素材1 新人教A版选修2-1.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学好四法易抓“轨” 求动点的轨迹方程问题是解析几何的基本问题.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对一些常见曲线的定义、性质等基础知识的掌握以外,还充分考查了各种数学思想方法及其一定的推理能力和运算能力.求动点的轨迹方程经常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法等,下面举例说明. 一、直接法 直接法是求轨迹方程最基本的方法,它是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式,建立x、y之间的关系,化简即得动点轨迹方程. 例1 已知直
2、角坐标平面上点和圆,动点到圆的切线长与的比等于常数.求动点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 解:如图1,设直线切圆于点,则动点组成的集合是:(为常数). 因为圆的半径, 所以. 设点的坐标为, 则, 整理,得, 当λ=1时,方程化为,它表示一条直线; 当时,方程化为,它表示圆心在,半径为的圆. 评注:本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及分类讨论的思想、方程的思想,还有综合运用知识的能力. 二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一轨迹的定义,可用定义直接探求. 例2 某检验员通常用一个直径为2
3、cm和一个直径为1cm的标准圆柱,检测一个直径为3cm的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? 解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B4,问题转化为求两等圆P、Q,使它们与相内切,与相外切.建立如图2所示的坐标系,并设的半径为,则,. ∴点在以A、O为焦点,长轴长2.5的椭圆上, 其方程为.① 同理点P也在以O、B为焦点,长轴长为2的椭圆上, 其方程为.② 由①、②可解得, ∴. 故所求圆柱的直径为cm. 评注:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转
4、化为数学问题的能力,圆锥曲线的定义所包含的几何意义十分重要,应特别重视利用圆锥曲线的定义解题.该题综合了解析几何、平面几何、立体几何的相关知识. 三、相关点法(代换法) 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.其特点是:动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标,可先用x,y来表示,再代入曲线的方程,即得点的轨迹方程. 例3 在椭圆内,有一内接三角形,它的一边与长轴重合,点在椭圆上运动,试求的重心轨迹. 解:如图3,设重心及,则AO是的中线,根据三角形重心公式与定比分点定义,有,则有:,. ∵点在椭圆上(不包括两点),4
5、 ∴, ∴是所求点的轨迹方程,且所求点的轨迹是一个中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(去除长轴的两端点). 评注:当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成时,应用转移法求点的轨迹比较合适. 四、参数法 若动点的坐标中的分别随另一变量的变化而变化,我们可以用这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程.选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素,然后再选取合适的参数,因为参数不同,运算量不同,常见的参数有:角度、直线的斜率、点的纵(横)坐标、线段的长度等. 例4 如图4,设点A和B为抛物线上除原点以外
6、的两个动点,已知,,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 解:设, 由题意可知直线的斜率不等于零, 故设直线的方程为. 由消去y,得. 所以. 消去,得, 所以. 由,即,得. ,. 故. 由,得. 因为A、B是异于原点的点,所以. 用,代入,得4 . 故点M的轨迹方程为,它表示以为圆心,以为半径的圆(去掉坐标原点). 评注:本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查,对运算、化简能力要求也较高.4
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