函数极限的运算法则.ppt

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1、第五讲函数极限的运算法则内容提要1.极限的运算法则；2.两个极限存在准则。教学要求1.熟练掌握极限的四则运算法则；2.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法则）。一、极限的运算法则对于+®0xx-®0xx,¥®x,+¥®x,-¥®x等情况的运算法则可类似。定理1设Axfxx=®)(lim0,Bxgxx=®)(lim0则有：lim0xx®)(lim0xgxx®±)(lim0xfxx®=)]()([xgxf±lim0xx®)(lim0xfxx®=特别地)(xCf)(lim0xfxx®lim0xx®C=nûùëéúênxf)]([=xxxf®)(lim0xx®lim0)(l

2、im0xgxx®0)(limxfxx®)()(xgxflim0xx®=其中0)(lim0¹=®Bxgxx证明只证法则1其余仿证指出：法则1、2都可推广到有限个具有极限的函数的情形因Axfxx=®)(lim0,Bxgxx=®)(lim0,由无穷小与函数)()(xBxgb+=0)(lim0=®xxxb)]([xBb+±)]([xAa+=)]()([xxba±+)(BA±=由无穷小的性质知：0)]()([lim0=±®xxxxba)(lim)(lim00xgxfxxxx®®±=BA±=)]()([lim0xgxfxx®±再由无穷小与函数极限的关系得：极限之关系知回顾：极限的几种

3、类型：1)简单型由运算法则直接求出结果：解例2=)2(lim1-®+xx1-®x)73(lim2++xx273lim21-®+++xxxx5=15=21+-7)1(3)1(2+-+-=〖注〗:一般地,求有理函数当0xx®的极限时若分母的极限不为零，0xx=把代入有理即为该函数的极限。函数直接求函数值,002)型(记号)4=2+2=)2(lim2+=®xx例324lim22--®xxx【注】对分子、分母极限均为0情形的有理式,先约去分子分母的公因子,再求极限，不能直接使用法则3练习：解¥¥3)型(记号)23=)112lim(2+-¥®xxx)113(lim2++=¥®xxx

4、=xx11211322+-++xxlim¥®x例41213lim22+-++¥®xxxxx0=10=)91(lim2-¥®xx)51(lim2+=¥®xxx=912-x512+xxlim¥®x例595lim2-+¥®xxx【注】对¥¥型的有理式函数的极限,由于分子分母极限为¥,极限不存在,不能用法则3,先对分子、分母同除以x的最高次幂再求极限。一般地,设0,000¹¹ba,nm,为正整数,则练习：解4)¥-¥型【注】对¥-¥型的有理式函数求极限,先通分,后求极限。例6练习：求解5)0C型再利用无穷小与无穷大之间的关系,可得:练习：解二、极限存在准则（1）夹逼准则都有不等式

5、)()()(xhxfxg££成立,且Axhxgxxxx==®®)(lim)(lim00〖注〗准则一对¥®x等情况也成立。1.极限存在准则利用两边夹法则可以证明:（两边夹法则）（2）单调有界准则单调有界的数列必有极限.定义1对于数列如果存在正数M,都满足不等式定义2如果满足不等式:对于数列如果满足不等式:小结一、函数极限的四则运算二、多项式商的极限三、复合函数的极限