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《2020届高三数学（理科）二轮复习专题集训 专题五 立体几何5.3 含解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、A级1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为( )A.B．C.D．解析： 如图，可得·＝(＋)·＝·＝4×2×＝12＝5×2×cosθ(θ为与的夹角)，所以cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的正切值为.答案： D2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为( )A.B．C.
2、D．解析： 如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BF＝CF＝2，∴PF⊥BC，又EB＝EC，∴EP⊥BC，∴∠EPF为二面角EBCF的平面角，而FP＝＝，在△EPF中，cos∠EPF＝＝＝.答案： B3．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________．解析： 由题意得＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，·＝(6，－2，－3)·(x－4,3，－6)＝6(x－4)－6＋18＝0，解之
3、得x＝2.答案： 24．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析： 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知点B在平面x
4、Oy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cosθ，sinθ，0)，∴＝(cosθ，sinθ，－1)，
5、
6、＝.设直线AB与a所成夹角为α，则cosα＝＝
7、sinθ
8、∈，∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．设直线AB与b所成夹角为β，则cosβ＝＝
9、cosθ
10、.当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时，则
11、sinθ
12、＝cosα＝cos60°＝，∴
13、cosθ
14、
15、＝.∴cosβ＝
16、cosβ
17、＝.∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.∴②正确．①错误．答案： ②③5．(2017·惠州市第三次调研考试)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为8π，∠AOP＝120°.(1)求证：AG⊥BD；(2)求二面角PAGB的平面角的余弦值．解析： 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由题意可知8π＝2×2π×AD，解得AD＝2.则A(0,0,0)，B(0,4,0)，D(0
18、,0,2)，P(，3,0)，∵G是DP的中点，∴可求得G.(1)证明：＝(0，－4,2)，＝.∴·＝·(0，－4,2)＝0，∴AG⊥BD.(2)＝(，－1,0)，＝，＝，＝，∵·＝0，·＝0，∴是平面APG的法向量．设n＝(x，y,1)是平面ABG的法向量，由n·＝0，n·＝0，解得n＝(－2,0,1)，cos〈，n〉＝＝＝－.∴二面角PAGB的平面角的余弦值为.6．(2017·太原市模拟试题)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.(
19、1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；(2)若二面角AEFC是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．解析： (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BD∩BE＝B，∴AC⊥平面BEFD，AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，由(1)得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，
20、∴BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，∴BD＝2.设OA＝a(a>0)，则A(a,0,0)，C(－a,0,0)，E(0，，1)，F(0，－，2)，∴＝(0，－2，1)，＝(－a，，1)，＝(a，，1)．设m＝(x1，y1，z1)是平面AEF的法向量，则即，令z1＝2，∴m＝是平面AEF的一个法向量，设n＝(x2，y2，z2)，是平面CEF的法向量，则即令z2＝2，∴n＝是平面CEF的一个法向量，∵
