汽车振动学――第十讲(多自由度系统的振动).ppt

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1、第九讲汽车振动学第十讲2009年10月12日一、多自由度系统及其固有特性1、多自由度系统振动微分方程的建立2、多自由度系统的固有特性二、无阻尼多自由度系统的模态分析1、模态的正交性、主坐标和正则坐标2、无阻尼系统的自由振动响应3、无阻尼系统的受迫振动响应三、比例阻尼和实模态分析＊四、非比例阻尼和复模态分析＊五、车身和车桥的自由振动第四章多自由度系统的振动一、多自由度系统及其固有特性1、多自由度系统振动微分方程的建立2、多自由度系统的固有特性多自由度系统的固有频率和主振型可由系统的无阻尼振动微分方程的特征值问题求得。将方程通解及其二阶导数代入，并消去得主振型方程，即（1）固有频率和

2、主振型的精确计算——广义特征值问题令，称为特征矩阵。假设方程的通解形式，主振型方程存在非零解的条件是其系数矩阵的行列式等于零，即特征方程2、多自由度系统的固有特性其中由于特征矩阵奇异，即，所以不能确定各振型向量分量的绝对数值，但可以确定它们的相对比值，而且是固定不变的，用表示，即显然，它与向量形态相同，仅差倍数。从而得到固有频率已知系统的特征矩阵，则主振型方程为代入振型方程可以得到与对应的非零向量称之为振型向量，它描绘了系统各质点的振动位移的一种形态，也称为主模态。特征值实际上，主振型也可采用伴随矩阵的方法进行求解。又特征矩阵的逆矩阵为式中，为特征矩阵的伴随矩阵。由于，所以不存在

3、，但可见，特征向量与伴随矩阵的任意非零列向量成比例。如果系统振动方程由位移形式给出，即，假设方程的通解形式，得振型方程。令，也称为特征矩阵。同理，解特征方程，得到特征根及对应的特征向量，从而求得固有频率及主振型。而综上所述，求振动系统的固有特性问题就是求系统的特征值问题。对于由质量阵和刚度阵表达的力方程，对于由质量阵和柔度阵表达的位移方程，其中，、、分别为动力矩阵、特征值、特征向量。这里这里一般标准表达形式行列式的迹有有求图所示振动系统的动力矩阵、固有频率和主振型，画出振型图。例题4-6（教材例题4.10）系统的振动微分方程：动力矩阵且特征矩阵将（频率方程或特征方程）展开，得整理

4、后将代入振型方程，即解上述方程得特征根验证特征值令，则得到，所以同理可得和画出振型图，如右图所示。采用伴随矩阵可得同样结果：振型向量思考1：思考2：如将上题中振系一端的弹簧都断开，结果如何？如将上题中振系两端的弹簧都断开，结果又如何？（2）固有特性的近似计算*（教材第五章多自由系统固有特性的近似计算）①矩阵迭代法可以求各阶固有频率及振型向量即举例（教材P103）取任意的初始归一化向量，计算，比较和，如不等，则继续迭代；归一化计算，比较和，如不等，则继续迭代；归一化以此类推，直至相等。同样道理，可以求得第二阶固有频率和振型，只是要先求得清型矩阵，使得第二阶在迭代过程中起主导作用。不

5、妨取如果把振型向量扩展成截断的振型矩阵，即阶矩阵，上式仍然成立②子空间迭代法适合求前几阶固有频率及振型向量这里取r个归一化的线性无关的n维向量，构成阶矩阵，作为初始矩阵归一化归一化不断重复上述过程，直至得到N次迭代近似矩阵与，则，而用于估算系统的基频，且得到的基频量值总是大于实际值。③瑞利能量法第一瑞利商但要假设一个比较合理的振型。多自由度系统的动能和势能对于谐波振动，有则对于保守系统，有，所以如果系统的柔度阵存在第二瑞利商由于振型向量总是可以表示为正则振型向量的线性组合，即是非零常数列向量，可以由振型正交条件求出。即④邓克莱法（也称迹法）用于初步估算系统的基频，且得到的基频量值

6、偏小。利用柔度矩阵表示的特征方程。因为即且故有则可近似地得到⑤传递矩阵法适用于链式结构系统，利用质量和弹性单元传递矩阵构造系统传递矩阵。单元的传递矩阵单元元件作用力关系式位移关系式传递矩阵质点质量圆盘质量线性弹簧扭杆弹簧例题4-7（教材例题5.7）系统传递矩阵边界条件自由端：固定端：根据系统的传递关系，结合边界条件，可以得到关于频率的多项式方程，从而求得固有频率，进而得到振型向量。用传递矩阵法，求图示系统的固有频率和主振型。二、无阻尼多自由度系统的模态分析1、模态的正交性、主坐标和正则坐标2、无阻尼系统的自由振动模态分析3、无阻尼系统的受迫振动模态分析讨论：（）（1）主模态及其正

7、交性1、主模态的正交性、主坐标和正则坐标求解上述方程，得到n个固有频率（又称主频率）和相应的n个主振型向量（又称主模态向量）将各振型向量根据固有频率的大小顺序按列排列成一个方阵，组成主振型矩阵（又称主模态矩阵），即可以证明，各阶主振型表现为关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。取任意两阶主频率和及其对应的主振型和，则由主振型方程得()称为第i阶模态质量，称为第i阶模态刚度。因为，所以，则有又知故有同样可以证明如果存在一组同维线性无关的向量，则可以将它们作为一个坐标系下的一组基向量，组成