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1、3.2.2利用空间向量证明平行、垂直关系自学导引(学生用书P80)会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.课前热身(学生用书P80)1.空间中的平行关系主要有__________、__________、__________,空间中的垂直关系主要有__________、__________、__________.2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是__________即可.线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直共线向量3.证明线面平
2、行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量___________.(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量__________.(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是__________.垂直共线共面向量4.证明面面平行的方法(1)转化为__________、__________处理;(2)证明这两个平面的法向量是__________.5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量__________.6.证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向
3、量是__________;(2)证明直线与平面内的__________.线线平行线面平行共线向量互相垂直共线向量两条不共线向量互相垂直7.证明面面垂直的方法(1)转化为__________、__________;(2)证明两个平面的法向量__________.线线垂直线面垂直互相垂直名师讲解(学生用书P80)1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=λb即可.2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明
4、a⊥b,即a·b=0即可.3.证明线面垂直:直线l,平面α,要让l⊥α,只要在l上取一个非零向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.典例剖析(学生用书P80)题型一证明线面平行例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD.分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1因此得方法1.变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为
5、3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图,则B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),题型二证明线面垂直例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行.证明:方法1:设A1B1的中点为G,连结EG,FG,A1B.则FG∥A1D1,EG∥A1B.∵A1D1⊥平面A1B.∴
6、FG⊥平面A1B.∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1,∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定,需添加辅助线.方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明.方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的.(2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数
7、运算属程序化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优点,不能偏废.分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行.证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),题型三证明面与面垂直例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利
8、用法向量垂直.证明:方法1:取AB的中点E.∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得CE⊥面ABB1A1.另取AB1中点M,得MD∥CE.∴MD⊥面ABB1A1.又∵MD⊂面AB1D,∴面AB1D⊥面ABB1A1.方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1的中点M,则相关点的坐标如下:规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两
