2018年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1第8讲函数与方程、函数的模型及其应用学案.doc

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1、第8讲　函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲　1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理

2、如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2103.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常

3、数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).4.指数、对数、幂函数模型性质比较　　函数性质　　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax

4、　　)(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(　　)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)

5、f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A.0B.1C.2D.3解析　由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案　B3.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)A.y＝cosxB.y＝sinxC.y＝lnxD.y＝x2＋1解析　由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cosx为偶函数且有零点.答案　A4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　

6、)A.100只B.200只C.300只D.400只解析　由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.答案　B5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.解析　因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得

7、)的零点的个数为________.解析　根据题意得：f(－2)＝(－2)2＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝24－2＝16－2＝14；令f(x)＝0，得到2x－2＝0，解得：x＝1，则函数f(x)的零点个数为1.答案　14　1考点一　函数零点所在区间的判断【例1】(1)若a