2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、2.1　2．1．1&2．1．2　曲线与方程　求曲线的方程预习课本P34～36，思考并完成以下问题1．曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？　　　　　　　2．求曲线方程的一般步骤是什么？　　　　　　　　　　　1．曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求曲线的方程的步骤1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过点P(x

2、0，y0)斜率为k的直线的方程是＝k(　　)(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0(　　)(3)以A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．下列各组方程中表示相同曲线的是(　　)A．x2＋y＝0与xy＝0　　　B．＝0与x2－y2＝0C．y＝x与y＝D．x－y＝0与y＝lg10x答案：D3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为(　　)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y

3、＋2)2＝3答案：B4．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________．答案：曲线的方程与方程的曲线的概念　　[典例]　分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程

4、x

5、＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程

6、x

7、＝2的解；但以方程

8、x

9、＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，

10、x

11、＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方

12、程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5．(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．　　　　　　[活学

13、活用]命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　　)A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：选B　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．曲线与方程的判定问题[典例]　下列方程分别表示什么曲线：(1)(x＋y－1)＝0；(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0．[解]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得或即x＋y－1＝0

14、(x≥1)或x＝1．故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1．(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0．∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴解得从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．　　　　[活学活用]已知方程x2＋(y－1)2＝10．(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的

15、曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)因为x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－．所以m的值为2或－．求曲线的方程[典例]　已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹