透视高考数学试题与导数有关的三大热点问题.doc

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1、透视高考数学试题与导数有关的三大热点问题湖南祁阳四中何双桥【考题回顾】近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：科别年份题型题量分值考查内容文科2002解答题114导数在实际中的应用2003解答题112利用导数求函数的单调区间2004解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2005解答题112利用导数求曲线的切线方程2006(浙江卷)解答题112求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性问题。理科2002解答题112导数在实际中的应用2003选择、解答题各1题5+12利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。2004解答题112综

2、合运用导数的几何意义证明不等式2005选择、解答题各1题5+12导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间2006(浙江卷)选择、解答题各1题5+12导函数的概念，；利用导数求曲线的切线方程，求函数的最值。【考点解读】导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查

3、，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。热点一：导数的几何意义函数y=f(x)在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现,因此也就成为了高考命题的一个热点。【错题分析】[错例1]（06全国II）过点（－1，0）作抛

4、物线的切线，则其中一条切线方程为（A）（B）（C）（D）误解：,根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(-1)=－1，所以曲线的切线方程为y=－(x＋1),即,选择（C）剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点(－1，0)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确。选D【典型题例】例1已知双曲线与点M（1，1），如图所示.（1）求证：过点M可作两条直

5、线，分别与双曲线C两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。【考查目的】本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。，且t≠0，t≠1。设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而，即线段AB的中点在直线上。又，AB与直线垂直。故A与B关于

6、对称，设，则有t2-2mt+m=0①由及夹角公式知，即②由①得③从而由②知，代入③知因此，。探究：求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。【热点冲刺】1．（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A

7、．B．C．D．解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A2.（06四川卷）曲线在点处的切线方程是（A）（B）（C）（D）解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.3.（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.4．（07预测题）设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别

8、为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△=(－1)2＋4a＞0，所以a＞－设此两交点为(α，α2)，(β,β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l