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时间:2020-06-21
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1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七一、选择题(每小题6分,共36分)1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x,不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是(A)a,b同时为0,且c>0(B)=c(C)c2、给出下列两个命题:⑴设a,b,c都是复数,如果a2+b2>c2,则a2+b2-c2>0;⑵设a,b,c都是复数,如果a2+b2-c2>0,则a2+b2>c2.那么下述说法正确的是(A)命题⑴正确,命题⑵也正确(B)命题⑴正确,命题⑵错误(C)命题⑴错误,命题⑵也错误(D)命题⑴错误,命题
2、⑵正确3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式
3、Sn-n-6
4、<的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)84、已知0
5、三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分,共54分)1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(--1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是.2.已知x,y∈[-,],a∈R且则cos(x+2y)=.3.已知点集A={(x,y)
6、(x-3)2+(y-4)2≤()2},B={(x,y)
7、(x-4)2+(y-5)2>()2},则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.4.设0<θ<π,,则sin(1+cosθ)的最大
8、值是.5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α,则sinα=.6.已知95个数a1,a2,a3,…,a95,每个都只能取+1或-1两个值之一,那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是.三、解答题一、(本题满分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1,z2,m均是复数,且z-4z2=16+20i,设这个方程的两个根α、β,满足
9、α-β
10、=2,求
11、m
12、的最大值和最小值.二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第1000项。三、(本
13、题满分35分)如图,设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E.证明:(1)IO=AE;(2)2R14、)求m(G)的最小值m0.(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案,若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七参考答案一.选择题(每小题6分,共36分)1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x,不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是(A)a,b同时为0,且c>0(B)=c(C)c解:asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[-15、+c,+c].故选C.2、给出下列两个命题:(1)设a,b,c都是复数,如果a2+b2>c2,则a2+b2-c2>0.(2)设a,b,c都是复数,如果a2+b2-c2>0,则a2+b2>c2.那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确,命题(2)也正确(B)命题(1)正确,命题(2)错误(C)命题(1)错误,命题(2)也错误(D)命题(1)错误,命题(2)正确解:⑴正确,⑵错误;理由:⑴a2+b2>c2,成立时,a2+b2与c2都是实数,故此时a2+b2-c2>0成立;⑵当a2+b2-c2>0成立时a2+b2-c2是实数16、,但不能保证a2+b2与c2都是实数,故a2+b2>c2不一定成立.故选B.3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式17、Sn-n-618、<的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)8解:(an+1-1)=-(an-1),即{an-1}是以-为公比的等比数列,∴an=8(-)
14、)求m(G)的最小值m0.(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案,若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七参考答案一.选择题(每小题6分,共36分)1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x,不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是(A)a,b同时为0,且c>0(B)=c(C)c解:asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[-
15、+c,+c].故选C.2、给出下列两个命题:(1)设a,b,c都是复数,如果a2+b2>c2,则a2+b2-c2>0.(2)设a,b,c都是复数,如果a2+b2-c2>0,则a2+b2>c2.那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确,命题(2)也正确(B)命题(1)正确,命题(2)错误(C)命题(1)错误,命题(2)也错误(D)命题(1)错误,命题(2)正确解:⑴正确,⑵错误;理由:⑴a2+b2>c2,成立时,a2+b2与c2都是实数,故此时a2+b2-c2>0成立;⑵当a2+b2-c2>0成立时a2+b2-c2是实数
16、,但不能保证a2+b2与c2都是实数,故a2+b2>c2不一定成立.故选B.3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式
17、Sn-n-6
18、<的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)8解:(an+1-1)=-(an-1),即{an-1}是以-为公比的等比数列,∴an=8(-)
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