2016中考命题研究数学（遵义）：第四节存在性问题.doc

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1、第四节　存在性问题中考重难点突破这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型是对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．【例】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1

2、，抛物线过A(－1，0)、C(0，－3)两点，抛物线的顶点为点D.对称轴与x轴交于点E，抛物线与x轴交于点B.(1)求抛物线的解析式并求顶点坐标；(2)点M是对称轴x＝1上一个动点，是否存在这样的点M，使MA＋MC最小，若存在求出该点坐标；(3)如图2，点P是对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使PB与PC的距离之差的绝对值最大，若存在求出该点坐标；(4)如图3，连接BC，若点K在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A到B运动(不与A，B重合)，同时点R在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B

3、向C运动，设运动时间为t秒，求出△BKR的面积S与t的函数关系式，并求出点K运动多长时间，△BKR的面积最大？最大面积是多少？【解析】本题考查抛物线背景下的最短和问题、最大差问题以及面积最值问题．【学生解答】【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题．1．(2015黔东南中考)如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c的

4、图像与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；(2)由图像写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．(2015遵义十一中三模)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B(1，m)、C(2，2)两点．(1)求直线与抛

5、物线的解析式；(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝α，求当△PON的面积最大时tanα的值．(3)若动点P保持(2)中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.(2015黔东南中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过

6、点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．4．(2015铜仁中考)如图，已知，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，

7、以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．