圆锥曲线与方程知识点总结.doc

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1、圆锥曲线与方程考纲导读1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．知识网络圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c三者间的关系高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵

2、观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时

3、，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．第1课时椭圆基础过关1．椭圆的两种定义(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝

4、F1F2

5、时，P点的轨

6、迹是．②当2a＜

7、F1F2

8、时，P点的轨迹不存在．(2)椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是．2．椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，(>>0，且(2)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足：．3．椭圆的几何性质(对,a>b>0进行讨论)(1)范围：≤x≤，≤y≤(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4)离心率：(与的比)，，越接近1，椭圆越

9、；越接近0，椭圆越接近于．31(5)焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则，=．(6)椭圆的参数方程为．4．焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：＝r1r2sin＝·2c

10、y0

11、(其中P()为椭圆上一点，

12、PF1

13、＝r1，

14、PF2

15、＝r2，∠F1PF2＝)典型例题例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）

16、、（0，2），并且椭圆经过点；（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，）变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程(1)和椭圆共准线，且离心率为．(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．例2.点P(3,4)是椭圆＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．解：（1）法一：令F1(－C，0)，F2(C，0)∵PF1⊥PF2，∴＝－1即，解得c＝5∴椭圆的方程为∵点P（3，

17、4）在椭圆上，∴解得a2＝45或a2＝5又a＞c，∴a2＝5舍去.故所求椭圆的方程为.法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一)（2）由焦半径公式：

18、PF1

19、＝a＋ex＝3＋×3＝4

20、PF2

21、＝a－ex＝3－×3＝2∴＝

22、PF1

23、·

24、PF2

25、＝×4×2＝20变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知

26、PF1

27、+

28、PF2

29、=2

30、a，

31、PF2

32、=2r∴

33、PF1

34、+2r=2a，即

35、PF1

36、=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知

37、OA

38、=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，