教学内容切线长定理.doc

《教学内容切线长定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、教学内容：切线长定理 【学习目标】理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题 【主体知识归纳】1．在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．圆的外切四边形的两组对边和相等． 【基础知识讲解】1．“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量特征，要明确这条线段的端点是哪两个点，而“切线”是一条直线，它不可度量长度．2．理解切线的有关问题，应明确：(1)已知一条切线时，常有五个性质可用．若已知某一圆的两条切线平行，则连结圆上两个切点的线段为直径；

2、若已知两条切线相交，那么又增加了切线长相等的性质．(2)如图7—155，PA、PB切⊙O于点A、B，则PA＝PB，PO平分∠APB，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分弦AB、平分、以及△OAC∽△APC∽△OPA等结论．因此，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、垂直关系的重要依据．3．要注意比较圆内接四边形与圆外切四边形的特性． 【例题精讲】例1：如图7—156，AB是⊙O的直径，AC、BF都是⊙O的切线，CF切⊙O于D，DE⊥AB，分别交AB、BC于E、G．求证：DG＝GE．剖析：因CA∥DE∥BF，故考虑借助于比例式来证线段相等．由于

3、CA、CF、FB是切线，可得CA＝CD，DF＝BF，这样，就为证DG＝EG提供了条件． 说明：借助于比例式来证明线段相等，是常用方法．本例灵活运用了平行线分线段成比例、切线长定理．思考：本例有结论，半径是AC、BF的比例中项，请证明，并利用它写出例1的另外解法．例2：如图7—157，PA、PB、CD都是⊙O的切线，∠P＝60°，设△PCD的周长为C1，⊙O的周长为C2，则C2和2C1的大小关系是A．C2＞2C1B．C2＝2C1C．C2＜2C1D．C1与半径有关剖析：△PCD的周长也就是PA＋PB的和，只要计算PA的长就可以了，C2仅与半径的大小有关．解：连结OA、PO．设

4、⊙O的半径为Ｒ．∵C1＝PC＋CD＋DP又CＭ＝CA，DＭ＝DB∴C1＝PC＋CＭ＋DＭ＋PD＝PA＋PB＝2PA∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，即∠OAP＝90°在Rt△POA中，cotAPO＝∴PA＝AO·cotAPO＝Ｒ∴C1＝2ＲC2＝2πＲ即C2＜2C1．故应选C．例3：已知⊙O内切于△ABC，DE∥BC，DE切⊙O于点P，△ABC的周长为20cm，如图7—158所示，设DE＝ycm，BC＝xcm，试写出y与x之间的函数关系式，并求当BC为多长时，DE取最大值，最大值是多少?解：∵BC＝x，BQ＝BＭ，CQ＝CN∴BＭ＋C

5、N＝BC＝x．∴△ADE的周长为C△ADE＝AD＋DP＋PE＋AE＝AD＋DＭ＋EN＋AE＝AＭ＋AN＝C△ABC－(BＭ＋CN＋BC)＝20－2x又DE∥BC，∴，即∴y＝．∴当BC＝x＝5cm，DE＝y取最大值，最大值为．例4：如图7—159，AD是⊙O的直径，直线l与⊙O交于E、F两点，过点A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，CD交⊙O于G．(1)证明：AD·BE＝FG·DF；(2)设AB＝m,BC＝n,CD＝p,试证明tanFAD、tanBAF是方程mx2－nx＋p＝0的两个实数根；(3)若(2)中的方程满足n2＝4mp,判断直线l与⊙O的位置关系．(1)证明

6、：过点O作OM⊥l,垂足为M．由垂径定理，得EM＝FM．∵AB⊥l,CD⊥l,∴AB∥CD∥OM．又∵AD是⊙O的直径，OD＝OA，∴CM＝BM，BE＝CF．∴∠AFD＝90°,∠AFD＝∠GCF＝90°．∵四边形AFGD是圆内接四边形，∴∠CGF＝∠FAD．∴△CFG∽△FDA．∴,即AD·CF＝FG·DF．∴AD·BE＝FG·DF．(2)证明：连结AG，则四边形ABCG是矩形，∴AB＝CG．∵tanFAD＝tanFGC＝,tanBAF＝,∴tanFAD＋tanBAF＝,∵四边形ABCG是矩形，∴AG∥BC，∴＝．∴∠FDG＝∠AFE．∴Rt△DCF∽Rt△FBA．∴

7、．∴CF·FB＝AB·CD．又∵AB＝m,BC＝n,CD＝p,∴tanFAD＋tanBAF＝,tanFAD·tanBAF＝∴tanFAD、tanBAF是方程mx2－nx＋p＝0的两个实数根．(3)解：若(2)中的方程满足n2＝4mp,即Δ＝0．∴tanFAD＝tanBAF．∴．即CF＝FB＝CE．∴点E、F重合．说明直线l和⊙O有一个公共点．∴直线l与⊙O相切．说明：本例是一道综合性很强的题目，而且一题多问，一环扣一环，请同学们在解题时一定要理清思路． 【同步达纲练习】1．(1)若⊙O的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数