数值分析作业答案(第5章) part2.doc

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1、5.6.证明：(1).如果是对称正定矩阵，则也是对称正定矩阵(2).如果是对称正定矩阵，则可以唯一地写成，其中是具有正对角元的下三角矩阵。证明：(1).因是对称正定矩阵，故其特征值皆大于，因此的特征值也皆大于。因此也皆大于，故是可逆的。又则也是对称正定矩阵。(2).由是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解。又其中为对角矩阵，为上三角矩阵，于是由的对称性，得由分解的唯一性得从而由的对称正定性，如果设表示的各阶顺序主子式，则有，，故因此，其中为对角元素为正的下三角矩阵。5.7.用列主元消去法解线性方

2、程组并求出系数矩阵的行列式(即)的值。解所以解为，，，。5.9.用追赶法解三对角方程组，其中，。解设有分解，由公式其中，分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。具体计算，可得，，，，，，，，。由，得，，，，；再由，得，，，，。5.11.下述矩阵能否分解为(其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵)？若能分解，那么分解是否唯一？，，。解中，故不能分解。但由于，所以若交换的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。在中，，故不能分解。但可以分解为，其中，为任意常数，且奇异，故分解不唯一。对于，，故可以分解且分解唯一。

3、。5.13.求证：(1).；(2).。证明(1).由定义知故。(2).由范数定义，有又所以。5.14.设且非奇异，又设为上一向量范数，定义试证明是上向量的一种范数。证明只需证明满足向量范数的三个条件。(1).因非奇异，故对任意，有，故，当且仅当时，有。(2).对任意，有。(3).对任意，有，故是上的向量范数。5.15.设为对称正定矩阵，定义，试证明是上向量的一种范数。证明只需证明满足向量范数的三个条件。(1).因正定对称，故当，；而当时，。(2).对任意，有。(3).因正定，故有分解，因而对任意，由的三角不等式有，故是上的

4、向量范数。