优化设计1数学基础和数学模型.ppt

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1、第三章优化设计1一、优化设计的概念以方案最优为目标，采用数学方法，借助计算机，通过对可行解的计算、分析、比较来完成设计的方法。优化设计与传统设计的差异传统设计——求得可行解优化设计——解算最优解方法不同结果不同2二、优化设计的内涵设计参数功能、结构…设计方案参数优化参数值的优化、组合设计问题设计参数不同取值、搭配之下设计目标、方案的变化规律3三、优化设计的一般过程实际问题建立数学模型选择确定计算方法编制计算程序上机计算求出结果设计要求（目标、准则）设计限制（约束条件）设计参数（设计变量）分析设计目标与设计参数间关系4四、优化设计数学模型4.1、相关数学概念1)设计变量：设计问题中与设

2、计目标关联且可调整、改变和优选的功能、结构等独立参数。设计变量分类１）连续变量：在给定区间可任意取值２）离散变量：在给定范围可间断取值优化设计分析计算的数据对象例如，轴的直径、长度、转速、载荷等。52)设计参数：设计问题中与设计目标关联的常量、标准等在设计过程中不变或预先确定的数值及指标参数优化设计所引用、参照的数据对象，设计过程中，取值不变表现为常量例如：材料密度、强度极限、熔点、疲劳周期63)设计空间：由设计问题各设计变量所构成的向量空间。轴的设计空间数学表达式:X=[x1,x2,…xn]T设计空间的坐标轴—设计变量设计空间的维度—设计变量个数设计空间中的点—该点所对应设计变量取

3、值下的设计方案。设计空间本质：优化设计问题的求解空间7实例：轴的最大直径、最高转速、最大载荷约束条件作用：规定优化设计问题设计变量的取值范围约束条件本质：界定优化设计问题求解空间大小、范围的边界条件4)约束条件：设计问题所关联设计变量的取值限制、要求。81）按形式分：不等式约束和等式约束a-x1≤0；ax1+bx2-C=02）按性质分：边界约束和性能约束边界约束：直接规定设计变量取值范围、区间的约束条件，a-x1≤0；性能约束：设计性能指标、要求等所形成的间接规定设计变量取值范围的约束。例如：强度>800MPa，约束条件类型95）可行域：满足所有约束条件的设计变量取值的集合可行域的本

4、质：由优化问题相关所有约束条件所限定的设计变量的取值空间。优化设计问题最优解的求解空间数学表达式：106）目标函数：针对设计目标，基于设计约束所建立的由设计变量驱动的设计方案评价函数目标函数实质：优化设计问题求解的数学工具11目标函数的类型单目标函数－评价准则唯一，由一个函数构成例如：以轴的重量最轻为目标多目标函数－评价准则不唯一，多函数组合而成例如：以轴的重量轻、强度大为目标单目标函数表达式：f(x)=f(x1,x2,…,xn)多目标函数表达式：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)12①f(x)是关于优化问题设计变量的函数，其取值应随设计变量的变化上升或下降

5、②f(x)应该是实函数，是可计算的③f(x)可以有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。目标函数f(x)的属性13关于目标函数的问题和思考：①f(x)是否应包含所有设计变量？②f(x)若是越大越好，则应如何处理，越小越好呢？③多目标函数的分目标函数f1(x)，f2(x)，fq(x)中有些越小越好,有些越大越好,应如何处理？144.2优化设计数学模型的一般形式求设计变量X=[x1,x2,…,xn]的具体取值使目标函数f(x)=f(x1,x2,…,xn)X∈Rn在约束条件下gu(x)≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p

6、乙两产品所需材料、工时、电力供应量和利润数据见下表。试确定每天可获最大利润的甲、乙生产量。产品材料/kg工时/h电力/(kw.h)利润/元甲93460乙4105120供应量3603002004.3优化设计数学模型举例16问题分析：该问题归结为如下的一个优化问题：既在当前生产条件下，如何安排产品甲、乙的日生产数量，使得企业每天所能够获得的利润最大。解：设计变量：产品甲、乙的日产量目标函数：企业生产甲、乙产品每天的利润设每天生产甲产品x1件乙产品x2件，则每天利润可用函数f(x1,x2)表示为：f(x1,x2)=60x1+120x217约束条件：产品甲、乙每天的生产消耗限制18上述问题可

7、归结为如下数学模型并满足如下约束条件：求变量：使函数极大化19五、优化方法的数学工具5.1、梯度1）梯度定义：函数在空间某点X(k)处各一阶偏导数组成的向量。2）梯度数学表达式例:f(X)=x12+3x2在点X0=(1,1)处梯度为∵f(X)/x1=2X1=2;f(X)/x2=3∴▽f(x)=(2,3)20３）梯度性质(1)函数在某点沿梯度方向上升最快，沿梯度反向下降最快．(2)函数沿梯度锐角方向上升，钝角方向下降．(3)函数在某点梯度方向就是该点等值线或