函数的凹凸性,极值.ppt

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1、函数曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方凸凹1定义2有什么想法？3能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？4四、曲线凹凸的判定定理25判别可微函数的凸凹性主要是对进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?泰勒公式分析6(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数利用函数在一阶泰勒公式可得定理2.(凹凸判定法)7例2解8例3证9拐点10

2、五、曲线的拐点及其求法1.定义2.拐点的求法证11方法1:拐点的求法12例4解凹的凸的凹的拐点拐点13方法2:想一想为什么？14例5解15例6解注意:1617例7解18练习凹区间：凸区间：拐点：19第三章微分中值定理与导数的应用第五节函数的极值与最大,最小值20定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数极值的定义2122是函数可能取得极值的点。一阶导数为零的点通过观察以上的图形:一阶导数不存在的点函数不连续的点23二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,24极值可疑点25首先考察下

3、列函数的图形:26通过观察以上的图形可以看出:判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可导函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.27定理2(第一充分条件)(是极值点情形)28求极值的步骤:(不是极值点情形)29例1解列表讨论极大值极小值30泰勒公式31看这一部分32当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,33定理3(第二充分条件)证取得极大值取得极小值34例2解35定理3失效例3解36说明：为什么？37就是说：38定理3(第二充分条件)的推广39例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.4

4、0小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)41试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解答:由题意应有又取得极大值为练习求出该极值,并指出它是极大42