2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2.docx

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1、6.2　垂直关系的性质[学习目标]　1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．　2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．　3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.【主干自填】1．直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直的性质定理3．平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．【

2、即时小测】1．思考下列问题(1)一般地，如果直线a⊥α，直线b⊥α，这时，a和b平行吗？你能给出证明吗？提示：a和b平行．证明如下：如图，假定a和b不平行．设a⊥α，b⊥α，垂足分别为A，B.过点B作a的平行线b′，由异面直线垂直的定义，b′与平面α内过点A的任意直线都垂直，也即有b′⊥α，b∩b′＝B，故直线b与b′确定一个平面，记为β，且记α∩β＝l，在平面β内，过点B有且仅有一条直线垂直于l，故b′与b重合，a与b平行．(2)一般地，平面α⊥β，α∩β＝MN，ABβ，AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？你能给出证明吗？提示：直线

3、AB和平面α垂直．证明如下：如图，在平面α内作直线BC⊥MN，则∠ABC是二面角α－MN－β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC，又已知AB⊥MN，从而AB⊥α.2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)A．相交B．异面C．平行D．不确定提示：C　因为l⊥AB，l⊥AC，ABα，ACα，且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为(　　)①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒m⊥n;

4、④⇒n⊥α.A．1B．2C．3D．4提示：C　①②③正确，④中n与平面α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)．4．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在(　　)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．不能确定提示：A　由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在底面ABC上的投影H必在交线AB上．例1　如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明

5、]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明　如图所示，连接AB1，B1C，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.

6、同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.例2　已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面

7、ABC内且交点为D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．类题通法面面垂直性质定理的转化面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．　如图所示，P是四边形ABC

8、D所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为A