工科数学分析-数集和确界原理

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1、《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院§1.2数集和确界原理授课章节:第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理教学目标:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念.教学要求:(1)掌握邻域的概念;(2)理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理).教学难点:确界的定义及其应用.教学方法:讲授为主.教学过程:先通过练习形式复习上节课的内容,以检验学习效果,此后导入新课.一、区间与邻域(一)区间(用来表示变量的变化

2、范围)设且.,其中(二)邻域联想:“邻居”.字面意思:“邻近的区域”.(看左图).与a邻近的“区域”很多,到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢?就是“关于a的对称区间”;如何用数学语言来表达呢?1、a的邻域:设,满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域,记作,或简记为,即10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院.2、点a的空心邻域.3、a的右邻域和点a的空心右邻域4、点a的左邻域和点a的空心左邻域5、邻域,邻域,邻域(其中M为充分大的正数);二、有界集与无界集什么是“界”?定义1(上

3、、下界):设为中的一个数集.若存在数,使得一切都有,则称S为有上(下)界的数集.数称为S的上界(下界);若数集S既有上界,又有下界,则称S为有界集.闭区间、为有限数)、邻域等都是有界数集,集合也是有界数集.若数集S不是有界集,则称S为无界集.等都是无界数集,集合也是无界数集.注:1)上(下)界若存在,不唯一;2)上(下)界与S的关系如何?看下例:例1讨论数集的有界性.分析:有界或无界上界、下界?下界显然有,如取;上界似乎无,但需要证明.10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院解:任

4、取,显然有,所以有下界1;但无上界.证明如下:假设有上界M,则M>0,按定义,对任意,都有,这是不可能的,如取则,且.综上所述知:是有下界无上界的数集,因而是无界集.例2证明:(1)任何有限区间都是有界集;(2)无限区间都是无界集;(3)由有限个数组成的数集是有界集.问题:若数集S有上界,上界是唯一的吗?对下界呢?(答:不唯一 ,有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2(上确界) 设S是R中的一个数集,若数满足:(1)对一切有(即是S的上界);(2)对任何,存在,使得(即是S的上界中最小的一个),则

5、称数为数集S的上确界,记作定义(上确界的等价定义)设是R中的一个数集,若数满足:1)是上界,2)使得.则称数为数集的上确界。定义3(下确界)设S是R中的一个数集,若数满足:(1)对一切有(即是S的下界);(2)对任何,存在,使得(即是S的下界中最大的一个),则称数为数集S的下确界,记作.定义(下确界的等价定义)设S是R中的一个数集,若数满足:1)是S下界;2)>0,<则称数为数集S的下确界。上确界与下确界统称为确界.注:非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.命题设数集有上(下)确界,则这上(下)确界必是唯

6、一的.10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院证明设,且,则不妨设有对,使,矛盾.例 , ,则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界.例3设和是非空数集,且有则有.例4设和是非空数集.若对和都有则有证明是的上界,是的下界,例5和为非空数集,试证明:证明有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.1、集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2、确界与最值的关系:设为数集.(1)的最值必属于,但确界未必

7、,确界是一种临界点.10《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院(2)非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.(3)若存在,必有对下确界有类似的结论.3、确界原理:定理1(确界原理)一个非空的,有上(下)界的集合,必有上(下)确界.这里我们给一个可以接受的说明.R,非空,,我们可以找到一个整数,使得不是上界,而是的上界.然后我们遍查和,我们可以找到一个,,使得不是上界,是上界,如果再找第二位小数,如此下去,最后得到,它是一个实数,即为的上确界.证明(书上对上确界的情况给

8、出证明,下面讲对下确界的证明)不妨设中的元素都为非负数,则存在非负整数,使得  1),有;  2)存在,有;把区间10等分,分点为n.1,n.2,...,n.9,存在,使得1),有;;2)存在,使得.再对开区间10等分,同理存在,使得1)对任何,有;2)存在,使继续重复此步骤,知对任何,存在使得1)对任何,;2)存在,.因此得到.以下证明 .1)对任意,;2)对任何,存在使.作业:P9 1(2),(3); 2;4(1)、(3)

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