积分学小结――二重积分、三重积分,线积分、面积分.ppt

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时间:2020-05-23

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1、基本积分表是常数)积分概念的联系定积分二重积分曲面积分曲线积分三重积分曲线积分计算上的联系其中理论上的联系1.定积分与不定积分的联系(牛顿--莱布尼茨公式)2.二重积分与曲线积分的联系(格林公式)3.三重积分与曲面积分的联系(高斯公式)X-型区域:oaxbxyy=1(x)y=2(x)特点:平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个.例1.计算其中D是直线y=1,x=2,及y=x所围的闭区域.解:将D看作X-型区域,则Y-型区域为:特点:平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.xycdx=y1(y)x

2、=y2(y)例1.计算其中D是直线y=1,x=2,及y=x所围的闭区域.解法2.将D看作Y-型区域,则解积分区域如图(2)极坐标系下例3.求其中D:x2+y21解:一般,若D的表达式中含有x2+y2时,考虑用  极坐标.0xyx2+y21令x=rcos,y=rsin,则x2+y21的极坐标方程为r=1.由(2)D*:0r1,02另由几何意义:重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为:曲面S的面积为(2)曲面积如图,先一后二(穿线法):三重积分的计算其中为三个坐标例1.计算三重积分所

3、围成的闭区域.解:面及平面(2)柱面坐标(3)球面坐标例.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定二代一定(与方向有关)定积分曲线积分二重积分计算计算Green公式各种积分之间的联系二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化求曲线积分计算方法:(一)如果积分曲线为:(二)如果曲线L的方程为则(三)如果曲线L的方程为则例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)二、对坐标的曲线积分的计算法L的参

4、数方程为则(一)(二)L的方程为则(三)如果L的方程为则例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式例.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则与路径无关的四个等价命题条件等价命题关于第二类曲线积分的计算①若曲线封闭,首先考虑使用Green公式②若曲线不封闭,可考虑添加辅助曲线使之封闭,然后

5、再使用Green公式注意:⑴辅助线上的积分应容易计算,⑵辅助线的方向与曲线的方向相一致。③按第二类曲线积分的计算公式直接计算注意:起点和终点的坐标曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义计算联系高斯公式斯托克斯公式主要内容(二)曲面积分曲面方程为:对面积的曲面积分的计算法则例解注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.一投影,二代入,三定号对坐标的曲面积分一投影,二代入,三定号一投影,二代入,三定号例计算解积分曲面只有一部分,直接计算投影区域:的上侧其中Σ是上半球面高斯公式①②解yax解:原积分

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