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《高考数列不等式的证明常用方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考常用数列不等式的证明方法知识点1.放缩为等比数列证明：2.裂项放缩1.2.证明：1.2.3.构造函数放缩1.ln(x+1)≤x证明：设，求证：证明：求导数可证ln(x+1)≤x4.数学归纳法1.（2012广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1+1-2n+1，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列。（1）、求a1的值；（2）、求数列{an}的通项公式。（3）、证明：对一切正整数n，有.解：（1）在中令得：令得：解得：，又解得（2）由得又也满足所以成立∴∴∴（3）（法一）∵
2、∴∴2.数列中，，，（）．(Ⅰ)试求、的值，使得数列为等比数列；(Ⅱ)设数列满足：，为数列的前项和．证明：时，．解：（Ⅰ）若为等比数列，则存在，使对成立。…………………2分由已知：，代入上式，整理得………①……………4分∵①式对成立，∴解得……………………………………5分∴当，时，数列是公比为2的等比数列…………6分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，即所以……………………………8分∵…………………………9分时，…………………………11分现证：（）3.数列中,已知（1）求数列的通项公式;（2）设,求数列的前
3、项和，求证:解:（1）（2）由知，所以4.(2011年全国)设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设解：（I）由题设即是公差为1的等差数列。又所以（II）由（I）得，5.数列的前项和为（1）求通项;（2）设求证：解:(1),时,时,,(2)6.在数列中,,且成等差数列,成等比数列.⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;⑵证明:.（Ⅰ）由条件得，由此可得．2分猜测．4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结
4、论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．7分（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．9分故综上，原不等式成立．12分7.（Ⅰ）设数列{}满足证明对所有的，有:（i）;（ii）证明:（Ⅰ）由数学归纳法知，，，……2分对，有，。对所有的，有，……8分8.(2011广东理科)设，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．（1）解：∵，∴，∴①当时，，则是以为首项，为公差的等差数列∴，即②当且时，当时，∴是以为首项，为公比的等比数列∴∴∴综上所述（2）方法一：证明：①当时，；②当且时，∴对
5、于一切正整数，．方法二：证明：①当时，；②当且时，要证，只需证，即证即证即证即证∵，∴原不等式成立∴对于一切正整数，．9.(2011年广东文科)设，数列满足，≥．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，≤．（1）解：∵，∴，∴①当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列∴，即②当且时，当时，∴是以为首项，为公比的等比数列∴∴∴综上所述（2）证明：①当时，；②当且时，要证，只需证，即证即证即证即证∵，∴原不等式成立∴对于一切正整数，≤．10、数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有
6、成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得,∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列,又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴(Ⅲ)解：由已知，易得 猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数列中的最大项
7、为.11.已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，且求证：；（3）求证：.解：（1）当时，，，可得：，．可得，（2）当时，，不等式成立．假设当时，不等式成立，即那么，当时，所以当时，不等式也成立.根据（），（）可知，当时，（3）设在上单调递减，∵当时，，12.已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．（Ⅰ）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………5分，原不等式成立．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．……………………10分
8、取，…………12分则．原不等式成立．……13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求;(3)求证:解：（1）当n≥2时，故是以2为首项，以2为公差的等差数列.（2）由（Ⅰ）得当n≥2时，当n=1时，（3）另证：14.已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的前项积为，求及数列的通项公式；（3）已知是与的等差中项，数列的前项和为，求证：．解：（1）证明：由已知，∴2分∵，两边取对数，得1分∴是等比数列，公
