2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系教学案理北师大.doc

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1、第2课时　直线与椭圆的位置关系　　　　　　直线与椭圆的位置关系(自主练透)1．(一题多解)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m>1　　　　　　　B．m>0C．00且m≠5

2、，所以m≥1且m≠5.2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

3、这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．20研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆有交点．　　　　　　　弦长问题(师生共研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，

4、A

5、B

6、＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若

7、AB

8、＋

9、CD

10、＝，求直线AB的方程．【解】　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知

11、AB

12、＋

13、CD

14、＝4＋3＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x

15、2＝，所以

16、AB

17、＝

18、x1－x2

19、20＝·＝.同理，

20、CD

21、＝＝.所以

22、AB

23、＋

24、CD

25、＝＋＝＝，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

26、AB

27、＝＝(k为直线的斜率)．　　已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求

28、AB

29、的最大值．解：(1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x

30、2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.所以

31、AB

32、＝＝＝＝.20当m＝0，即直线l过原点时，

33、AB

34、最大，最大值为.　　　　　　中点弦问题(多维探究)角度一　由中点弦确定直线方程或曲线方程(1)已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．(2)焦点是F(0，5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．【解析】　(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，通解：有＋y＝1，＋y＝1.两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1

35、＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，代入后求得kAB＝－.即2＝－，所以x0＋4y0＝0.优解：由kAB·kOP＝－得2·＝－，即x0＋4y0＝0.故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y2＝1得：＋＝1，解得x＝±，又中点在椭圆内，所以－b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－×20＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b

36、2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1